Question

整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足

$\begin{aligned} ab + c &= 100, \\ bc + a &= 87, \\ ca + b &= 60 \end{aligned}\text{。}$

求 $ab + bc + ca$ 。

Integers $a,$ $b,$ and $c$ satisfy

$\begin{aligned} ab + c &= 100, \\ bc + a &= 87, \\ ca + b &= 60. \end{aligned}$

What is $ab + bc + ca?$

$212$

$247$

$258$

$276$

$284$

答案：D

知识点：方程组因式分解丢番图方程

难度评级：2270

小提示：

将三个方程相加，关联 $ab + bc + ca$ 和 $a + b + c$ 。

Add all three equations to relate $ab + bc + ca$ and $a + b + c$

大提示：

前两式相减得到 $(a-c)(b-1)=13$ ；枚举 $13$ 的四个带符号因数对

Subtract the first two equations to get $(a-c)(b-1)=13;$ enumerate the four signed factor pairs of $13$

解答：

用第一个方程减去第二个方程： $(a-c)(b-1)=13$ 。令 $u=a-c$ ， $v=b-1$ 。四种可能 $(u,v)=(1,13)$ 、 $(13,1)$ 、 $(-1,-13)$ 和 $(-13,-1)$ 代入 $bc+a=87$ 后，分别给出 $c=\frac{86}{15}$ 、 $c=\frac{74}{3}$ 、 $c=-8$ 和 $c=100$ 。只有第三种给出三个原方程的整数解： $(a,b,c)=(-9,-12,-8)$ 。（最后一个候选是 $(87,0,100)$ ，它不满足 $ca+b=60$ 。）把原来的三个方程相加，得到 $ab+bc+ca$ ${}+(a+b+c)=247$ 。由于 $a+b+c=-29$ ，我们得到 $ab+bc+ca$ $=247-(-29)=276$ 。因此正确答案是 D。

Subtract the second equation from the first: $(a-c)(b-1)=13.$ Put $u=a-c$ and $v=b-1.$ The four possibilities $(u,v)=(1,13),$ $(13,1),$ $(-1,-13),$ and $(-13,-1)$ give, after substitution into $bc+a=87,$ respectively $c=\frac{86}{15},$ $c=\frac{74}{3},$ $c=-8,$ and $c=100.$ Only the third is an integer solution of all three original equations: $(a,b,c)=(-9,-12,-8).$ (The last candidate is $(87,0,100),$ which fails $ca+b=60.$ ) Adding the original equations gives $ab+bc+ca$ ${}+(a+b+c)=247.$ Since $a+b+c=-29,$ we obtain $ab+bc+ca$ $=247-(-29)=276.$ Thus, D is the correct answer.

2024 AMC 10A 第 23 题

答案：D

难度评级：2270

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解答：

其他年份的第 23 题