Question

将列表 $10, 2, 5, 2, 4, 2, x$ 的平均数、中位数和众数按递增顺序排列后，它们形成一个非常数等差数列。所有可能的实数 $x$ 的和是多少？

When the mean, median, and mode of the list $10, 2, 5, 2, 4, 2, x$ are arranged in increasing order, they form a non-constant arithmetic progression. What is the sum of all possible real values of $x?$

$3$

$6$

$9$

$17$

$20$

答案：E

知识点：平均数中位数（数据）等差数列分类讨论

难度评级：1950

小提示：

众数是 $2$ ，平均数是 $\dfrac{25 + x}{7}$ ；中位数取决于 $x$ 的大小。

The mode is $2$ and the mean is $\dfrac{25 + x}{7};$ the median depends on where $x$ falls

大提示：

按 $x$ 的大小分情况，并要求三个有序值等间隔。

Split into cases by the size of $x,$ and require the three ordered values to be equally spaced

解答：

众数总是 $2$ ，平均数是 $\mu = \dfrac{25+x}{7}$ 。

若 $x \leq 2$ ，中位数也是 $2$ 。两个相等的数不可能属于一个非常数三项等差数列，所以这种情况没有解。

若 $2 < x < 4$ ，三个数按 $2 < x < \mu$ 排列。它们恰好在 $x-2 = \mu-x$ 时构成等差数列。代入 $\mu$ 得 $x-2 = \dfrac{25+x}{7}-x\text{，}$ 解得 $x=3$ 。

若 $x \geq 4$ ，中位数是 $4$ ，并且 $\mu>4$ 。因此条件是 $4-2 = \mu-4\text{，}$ 所以 $\mu=6$ ，且 $x=17$ 。

两个可能值是 $3$ 和 $17$ ，其和为 $20$ 。

所以正确答案是 E。

The mode is always $2,$ and the mean is $\mu = \dfrac{25+x}{7}.$

If $x \leq 2,$ the median is also $2.$ Two equal values cannot belong to a non-constant three-term arithmetic progression, so this case gives no solutions.

If $2 < x < 4,$ the values occur in the order $2 < x < \mu.$ They form an arithmetic progression exactly when $x-2 = \mu-x.$ Substituting for $\mu$ gives $x-2 = \dfrac{25+x}{7}-x,$ whose solution is $x=3.$

If $x \geq 4,$ the median is $4$ and $\mu>4.$ Thus the condition is $4-2 = \mu-4,$ so $\mu=6$ and $x=17.$

The two possible values are therefore $3$ and $17,$ whose sum is $20.$

Thus, the correct answer is E.

2000 AMC 10 第 23 题

答案：E

难度评级：1950

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题