2000 AMC 10 真题与在线限时测验

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1:15:00

1.

$2001$ 年，美国将主办国际数学奥林匹克。设 $I$ 、 $M$ 和 $O$ 是互不相同的正整数，且 $I \cdot M \cdot O = 2001$ 。那么 $I + M + O$ 的最大可能值是多少？

In the year $2001,$ the United States will host the International Mathematical Olympiad. Let $I,$ $M,$ and $O$ be distinct positive integers such that the product $I \cdot M \cdot O = 2001.$ What is the largest possible value of the sum $I + M + O?$

$23$

$55$

$99$

$111$

$671$

答案：E

知识点：质因数分解最优化

难度评级：960

小提示：

将 $2001$ 分解成质因数。

Factor $2001$ into primes

大提示：

要让和尽可能大，可以让一个因数尽可能小，从而让另一个因数尽可能大。

To make the sum large, keep one factor as small as possible so another can be as large as possible

解答：

分解质因数得 $2001 = 3 \cdot 23 \cdot 29$ 。

若一个因数是 $1$ ，另两个因数可能为 $(3,667)$ ， $(23,87)$ ，或 $(29,69)$ 。它们与 $1$ 的和分别为 $671$ ， $111$ ，和 $99$ 。（数对 $(1,2001)$ 会重复因数 $1$ 。）

若没有因数是 $1$ ，三个质因数必须分别分给三个整数，只能得到 $3,23,29$ ，其和小得多。因此最大可能的和是 $1 + 3 + 667 = 671$ 。

所以正确答案是 E。

Factoring gives $2001 = 3 \cdot 23 \cdot 29.$

If one factor is $1,$ the possible pairs for the other two factors are $(3,667),$ $(23,87),$ and $(29,69).$ Their corresponding sums with $1$ are $671,$ $111,$ and $99.$ (The pair $(1,2001)$ would repeat the factor $1.$ )

If no factor is $1,$ all three prime factors must be split among the three integers, giving only $3,23,29$ and a much smaller sum. Therefore, the largest possible sum is $1 + 3 + 667 = 671.$

Thus, the correct answer is E.

2.

下列哪一项等于 $2000 \cdot 2000^{2000}$ ？

Which of the following is equal to $2000 \cdot 2000^{2000}?$

$2000^{2001}$

$4000^{2000}$

$2000^{4000}$

$4{,}000{,}000^{2000}$

$2000^{4{,}000{,}000}$

答案：A

知识点：指数

难度评级：870

小提示：

把前面的 $2000$ 写成 $2000^1$ 。

Write the leading $2000$ as $2000^1$

大提示：

同底数幂相乘时，指数相加。

Multiplying powers with the same base adds the exponents

解答：

将因数 $2000$ 写成 $2000^1$ 。则 $\begin{aligned} 2000^1 \cdot 2000^{2000} &= 2000^{1 + 2000} \\ &= 2000^{2001} \end{aligned}\text{。}$

其他每个选项都大于 $2000^{2001}$ 。

所以正确答案是 A。

Write the factor $2000$ as $2000^1.$ Then $\begin{aligned} 2000^1 \cdot 2000^{2000} &= 2000^{1 + 2000} \\ &= 2000^{2001}. \end{aligned}$

Each of the other options is larger than $2000^{2001}.$

Thus, the correct answer is A.

3.

Jenny 每天吃掉当天开始时罐子里软糖的 $20\%$ 。第二天结束时还剩 $32$ 颗。罐子里原来有多少颗软糖？

Each day, Jenny ate $20\%$ of the jellybeans that were in her jar at the beginning of that day. At the end of the second day, $32$ remained. How many jellybeans were in the jar originally?

$40$

$50$

$55$

$60$

$75$

答案：B

知识点：百分数逆推法

难度评级：960

小提示：

每天吃掉 $20\%$ ，也就是每天结束时剩下 $80\%$ 。

Eating $20\%$ leaves $80\%$ of the jellybeans at the end of each day

大提示：

若原来有 $x$ 颗，则 $(0.8)^2 x = 32$ 。

If $x$ is the original amount, then $(0.8)^2 x = 32$

解答：

Jenny 每天吃掉 $20\%$ ，所以每天结束时剩下 $80\%$ 。

设原来有 $x$ 颗，则 $(0.8)^2 x = 0.64x = 32\text{，}$ 因此 $x = 50$ 。

所以正确答案是 B。

Since Jenny eats $20\%$ each day, $80\%$ remain at the end of each day.

If $x$ is the original number, then $(0.8)^2 x = 0.64x = 32,$ so $x = 50.$

Thus, the correct answer is B.

4.

Chandra 向一家网络服务提供商支付固定月费，另按连接时长支付费用。她十二月的账单是 $\$12.48$ ；一月因为连接时间是十二月的两倍，账单为 $\$17.54$ 。固定月费是多少？

Chandra pays an on-line service provider a fixed monthly fee plus an hourly charge for connect time. Her December bill was $\$12.48,$ but in January her bill was $\$17.54$ because she used twice as much connect time as in December. What is the fixed monthly fee?

$\$2.53$

$\$5.06$

$\$6.24$

$\$7.42$

$\$8.77$

答案：D

知识点：方程组一次方程

难度评级：1030

小提示：

一月多出来的费用完全来自多用了一份十二月的连接时间。

The extra charge in January comes entirely from one additional December’s worth of connect time

大提示：

差额 $\$17.54 - \$12.48$ 就是十二月的连接时长费用。

The difference $\$17.54 - \$12.48$ equals December’s connect-time cost

解答：

一月只有连接时间翻倍，所以账单增加的 $\$17.54 - \$12.48 = \$5.06$ 就是十二月的连接时长费用。

因此固定月费是 $\$12.48 - \$5.06 = \$7.42$ 。

所以正确答案是 D。

January doubled only the connect time, so the increase $\$17.54 - \$12.48 = \$5.06$ equals December’s connect-time cost.

The fixed monthly fee is therefore $\$12.48 - \$5.06 = \$7.42.$

Thus, the correct answer is D.

5.

点 $M$ 和 $N$ 分别是边 $PA$ 和 $PB$ 的中点，这两条边属于 $\triangle PAB$ 。当 $P$ 沿着一条与边 $AB$ 平行的直线移动时，下面四个量中有多少个会改变？

（a）线段 $MN$ 的长度；（b） $\triangle PAB$ 的周长；（c） $\triangle PAB$ 的面积；（d）梯形 $ABNM$ 的面积。

Points $M$ and $N$ are the midpoints of sides $PA$ and $PB$ of $\triangle PAB.$ As $P$ moves along a line that is parallel to side $AB,$ how many of the four quantities listed below change?

(a) the length of the segment $MN;$ (b) the perimeter of $\triangle PAB;$ (c) the area of $\triangle PAB;$ (d) the area of trapezoid $ABNM.$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：B

知识点：三角形面积中点平行线

难度评级：1240

小提示：

$MN$ 是三角形的中位线，所以 $MN = \tfrac12 AB$ 。

$MN$ is a midsegment of the triangle, so $MN = \tfrac12 AB$

大提示：

因为 $P$ 始终在与 $AB$ 平行的直线上，所以从 $P$ 到 $AB$ 的高不变。

Since $P$ stays on a line parallel to $AB,$ the height from $P$ to $AB$ never changes

解答：

由于 $MN$ 是中位线， $MN = \tfrac12 AB$ ，所以它的长度不变。

底边 $AB$ 固定，从 $P$ 到 $AB$ 的高也固定；当 $P$ 沿平行线移动时， $\triangle PAB$ 的面积不变。梯形 $ABNM$ 是大三角形减去 $\triangle PMN$ ，面积也不变。

只有周长会改变，因为 $PA$ 和 $PB$ 会随着 $P$ 的移动而变化。因此恰好有一个量会改变。

所以正确答案是 B。

Since $MN$ is a midsegment, $MN = \tfrac12 AB,$ which is fixed.

The base $AB$ and the height from $P$ to $AB$ are both constant as $P$ slides along the parallel line, so the area of $\triangle PAB$ does not change. The trapezoid $ABNM$ is the triangle minus $\triangle PMN,$ both of whose areas are constant, so its area does not change either.

Only the perimeter changes, since $PA$ and $PB$ vary as $P$ moves. So exactly one quantity changes.

Thus, the correct answer is B.

6.

Fibonacci 数列 $1$ ， $1$ ， $2$ ， $3$ ， $5$ ， $8$ ， $13$ ， $21$ ， $\ldots$ 以两个 $1$ 开始，之后每一项都是前两项之和。十个数字中，哪一个最晚出现在 Fibonacci 数列某一项的个位上？

The Fibonacci sequence $1,$ $1,$ $2,$ $3,$ $5,$ $8,$ $13,$ $21,$ $\ldots$ starts with two $1$ s, and each term afterwards is the sum of its two predecessors. Which one of the ten digits is the last to appear in the units position of a number in the Fibonacci sequence?

$0$

$4$

$6$

$7$

$9$

答案：C

知识点：斐波那契数列个位数字找规律

难度评级：1240

小提示：

只记录每一项的个位数，并把前两个个位数相加后对 $10$ 取余。

Track only the units digit of each term, adding the two previous units digits modulo $10$

大提示：

列出个位数序列，观察哪个数字第一次出现得最晚。

List the units digits and note which digit is slowest to first appear

解答：

只记录个位数，得到 $\begin{gathered} 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, \\ 4, 3, 7, 0, 7, 7, 4, 1, 5, 6, \ldots \end{gathered}$

依次查看每个数字第一次出现的位置，数字 $6$ 是十个数字中最后出现的。

所以正确答案是 C。

Recording only the units digits gives the sequence $\begin{gathered} 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, \\ 4, 3, 7, 0, 7, 7, 4, 1, 5, 6, \ldots \end{gathered}$

Scanning for the first appearance of each digit, the digit $6$ is the last of the ten digits to show up.

Thus, the correct answer is C.

7.

在长方形 $ABCD$ 中， $AD = 1$ ，点 $P$ 在 $\overline{AB}$ 上，且 $\overline{DB}$ 和 $\overline{DP}$ 三等分 $\angle ADC$ 。求 $\triangle BDP$ 的周长。

In rectangle $ABCD,$ $AD = 1,$ $P$ is on $\overline{AB},$ and $\overline{DB}$ and $\overline{DP}$ trisect $\angle ADC.$ What is the perimeter of $\triangle BDP?$

$3 + \dfrac{\sqrt3}{3}$

$2 + \dfrac{4\sqrt3}{3}$

$2 + 2\sqrt2$

$\dfrac{3 + 3\sqrt5}{2}$

$2 + \dfrac{5\sqrt3}{3}$

答案：B

知识点：特殊直角三角形矩形周长

难度评级：1390

小提示：

角 $ADC = 90^\circ$ 被分成三个 $30^\circ$ 的角。

Angle $ADC = 90^\circ$ is split into three $30^\circ$ angles

大提示：

三角形 $ADP$ 和 $ADB$ 都是 $30$ - $60$ - $90$ 直角三角形，且都含有边 $AD = 1$ 。

Triangles $ADP$ and $ADB$ are both $30$ - $60$ - $90$ right triangles with leg $AD = 1$

解答：

直角 $\angle ADC = 90^\circ$ 被三等分成三个 $30^\circ$ 角，所以 $\angle ADP = 30^\circ$ ， $\angle ADB = 60^\circ$ 。

在直角三角形 $ADP$ 中，由 $AD = 1$ 得 $DP = \dfrac{1}{\cos 30^\circ} = \dfrac{2\sqrt3}{3}$ ， $AP = \tan 30^\circ = \dfrac{\sqrt3}{3}$ 。

在直角三角形 $ADB$ 中，由 $AD = 1$ 得 $DB = \dfrac{1}{\cos 60^\circ} = 2$ ， $AB = \tan 60^\circ = \sqrt3$ 。

于是 $\begin{aligned} PB = AB - AP &= \sqrt3 - \dfrac{\sqrt3}{3} \\ &= \dfrac{2\sqrt3}{3} \end{aligned}\text{。}$

$\triangle BDP$ 的周长为 $\begin{gathered} DP + PB + DB \\ = \dfrac{2\sqrt3}{3} + \dfrac{2\sqrt3}{3} + 2 \\ = 2 + \dfrac{4\sqrt3}{3} \end{gathered}\text{。}$

所以正确答案是 B。

The right angle $\angle ADC = 90^\circ$ is trisected into three $30^\circ$ angles, so $\angle ADP = 30^\circ$ and $\angle ADB = 60^\circ.$

In right triangle $ADP,$ with $AD = 1,$ we get $DP = \dfrac{1}{\cos 30^\circ} = \dfrac{2\sqrt3}{3}$ and $AP = \tan 30^\circ = \dfrac{\sqrt3}{3}.$

In right triangle $ADB,$ with $AD = 1,$ we get $DB = \dfrac{1}{\cos 60^\circ} = 2$ and $AB = \tan 60^\circ = \sqrt3.$

Then $\begin{aligned} PB = AB - AP &= \sqrt3 - \dfrac{\sqrt3}{3} \\ &= \dfrac{2\sqrt3}{3}. \end{aligned}$

The perimeter of $\triangle BDP$ is $\begin{gathered} DP + PB + DB \\ = \dfrac{2\sqrt3}{3} + \dfrac{2\sqrt3}{3} + 2 \\ = 2 + \dfrac{4\sqrt3}{3}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

8.

在奥林匹克高中， $\tfrac25$ 的高一学生和 $\tfrac45$ 的高二学生参加了 AMC $10$ 。已知参加考试的高一学生人数和高二学生人数相同。下列哪一项一定成立？

At Olympic High School, $\tfrac25$ of the freshmen and $\tfrac45$ of the sophomores took the AMC $10.$ Given that the number of freshmen and sophomore contestants was the same, which of the following must be true?

高二学生人数是高一学生人数的五倍。

There are five times as many sophomores as freshmen.

高二学生人数是高一学生人数的两倍。

There are twice as many sophomores as freshmen.

高一学生人数和高二学生人数相同。

There are as many freshmen as sophomores.

高一学生人数是高二学生人数的两倍。

There are twice as many freshmen as sophomores.

高一学生人数是高二学生人数的五倍。

There are five times as many freshmen as sophomores.

答案：D

知识点：比与比例一次方程

难度评级：1020

小提示：

设高一和高二学生总人数分别为 $f$ 和 $s$ ，并令参加考试的人数相等。

Let $f$ and $s$ be the numbers of freshmen and sophomores, and set the two contestant counts equal

大提示：

解方程 $\tfrac25 f = \tfrac45 s$ ，把 $f$ 用 $s$ 表示。

Solve $\tfrac25 f = \tfrac45 s$ for $f$ in terms of $s$

解答：

设高一和高二学生总人数分别为 $f$ 和 $s$ 。参加考试的人数相同，所以 $\tfrac25 f = \tfrac45 s\text{。}$

两边乘以 $5$ ，得 $2f = 4s$ ，所以 $f = 2s$ 。高一学生人数是高二学生人数的两倍。

所以正确答案是 D。

Let $f$ and $s$ be the numbers of freshmen and sophomores. The contestant counts are equal, so $\tfrac25 f = \tfrac45 s.$

Multiplying by $5$ gives $2f = 4s,$ so $f = 2s.$ There are twice as many freshmen as sophomores.

Thus, the correct answer is D.

9.

若 $|x - 2| = p$ ，其中 $x \lt 2$ ，则 $x - p =$

If $|x - 2| = p,$ where $x \lt 2,$ then $x - p =$

$-2$

$2$

$2 - 2p$

$2p - 2$

$|2p - 2|$

答案：C

知识点：绝对值代数变形

难度评级：1170

小提示：

因为 $x \lt 2$ ，所以 $x - 2$ 为负， $|x - 2| = 2 - x$ 。

Since $x \lt 2,$ the quantity $x - 2$ is negative, so $|x - 2| = 2 - x$

大提示：

先由 $2 - x = p$ 解出 $x$ ，再代入 $x - p$ 。

Solve $2 - x = p$ for $x,$ then substitute into $x - p$

解答：

因为 $x \lt 2$ ，所以 $|x - 2| = 2 - x = p$ ，于是 $x = 2 - p$ 。

因此 $x - p = (2 - p) - p = 2 - 2p\text{。}$

所以正确答案是 C。

Because $x \lt 2,$ we have $|x - 2| = 2 - x = p,$ so $x = 2 - p.$

Then $x - p = (2 - p) - p = 2 - 2p.$

Thus, the correct answer is C.

10.

一个面积为正的三角形边长为 $4$ 、 $6$ 和 $x$ 。另一个面积为正的三角形边长为 $4$ 、 $6$ 和 $y$ 。不能作为 $|x - y|$ 取值的最小正数是多少？

The sides of a triangle with positive area have lengths $4,$ $6,$ and $x.$ The sides of a second triangle with positive area have lengths $4,$ $6,$ and $y.$ What is the smallest positive number that is not a possible value of $|x - y|?$

$2$

$4$

$6$

$8$

$10$

答案：D

知识点：三角不等式极限情形界定

难度评级：1370

小提示：

三角形不等式要求 $x$ 和 $y$ 都严格位于 $2$ 与 $10$ 之间。

The triangle inequality forces each of $x$ and $y$ to lie strictly between $2$ and $10$

大提示：

求 $|x - y|$ 的取值范围，其中 $x$ 和 $y$ 都在这个开区间内变化。

Find the range of $|x - y|$ when $x$ and $y$ each range over that open interval

解答：

由三角形不等式， $x$ 和 $y$ 都可以取严格介于 $6 - 4 = 2$ 与 $6 + 4 = 10$ 之间的任意数。

因此 $|x - y|$ 可以取所有满足 $0 \le |x - y| \lt 8$ 的值。

最小不能取到的正数是 $10 - 2 = 8$ 。

所以正确答案是 D。

By the triangle inequality, each of $x$ and $y$ can be any number strictly between $6 - 4 = 2$ and $6 + 4 = 10.$

Then $|x - y|$ can take any value with $0 \le |x - y| \lt 8.$

The smallest positive number not attainable is $10 - 2 = 8.$

Thus, the correct answer is D.

11.

从 $4$ 和 $18$ 之间选出两个不同的质数。用它们的乘积减去它们的和，可能得到下列哪个数？

Two different prime numbers between $4$ and $18$ are chosen. When their sum is subtracted from their product, which of the following numbers could be obtained?

$21$

$60$

$119$

$180$

$231$

答案：C

知识点：质数奇偶性极限情形界定

难度评级：1370

小提示：

$4$ 和 $18$ 之间的质数是 $5$ 、 $7$ 、 $11$ 、 $13$ 、 $17$ ，它们都是奇数。

The primes between $4$ and $18$ are $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ $17,$ all odd

大提示：

注意 $xy - (x + y)$ $= (x - 1)(y - 1) - 1$ ，它是奇数，并且随着 $x$ 、 $y$ 变大而增大。

Note that $xy - (x + y)$ $= (x - 1)(y - 1) - 1,$ which is odd and increases with $x$ and $y$

解答：

在 $4$ 和 $18$ 之间的质数是 $5$ 、 $7$ 、 $11$ 、 $13$ 和 $17$ 。两个奇数的乘积是奇数、和是偶数，所以 $xy - (x + y)$ 是奇数。

又因为 $xy - (x + y)$ $= (x - 1)(y - 1) - 1$ 会随着任一质数增大而增大，结果从 $5 \cdot 7 - 12 = 23$ 到 $13 \cdot 17 - 30 = 191$ 。

选项中唯一在 $[23, 191]$ 内的奇数是 $119 = 11 \cdot 13 - (11 + 13)$ 。

所以正确答案是 C。

The primes between $4$ and $18$ are $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ and $17.$ The product of two of them is odd and the sum is even, so $xy - (x + y)$ is odd.

Since $xy - (x + y)$ $= (x - 1)(y - 1) - 1$ increases as either prime increases, the result ranges from $5 \cdot 7 - 12 = 23$ up to $13 \cdot 17 - 30 = 191.$

The only odd option in $[23, 191]$ is $119 = 11 \cdot 13 - (11 + 13).$

Thus, the correct answer is C.

12.

图形 $0$ ， $1$ ， $2$ 和 $3$ 分别由 $1$ ， $5$ ， $13$ 和 $25$ 个互不重叠的单位正方形组成。如果继续这个规律，图形 $100$ 中会有多少个互不重叠的单位正方形？

Figures $0,$ $1,$ $2,$ and $3$ consist of $1,$ $5,$ $13,$ and $25$ nonoverlapping unit squares, respectively. If the pattern were continued, how many nonoverlapping unit squares would there be in figure $100?$

$10401$

$19801$

$20201$

$39801$

$40801$

答案：C

知识点：前n个奇数之和完全平方数找规律

难度评级：1240

小提示：

数列 $1, 5, 13, 25, \ldots$ 的相邻差为 $4, 8, 12, \ldots$ 。

The differences $1, 5, 13, 25, \ldots$ grow by $4, 8, 12, \ldots$

大提示：

图形 $n$ 有 $n^2 + (n+1)^2$ 个单位正方形。

Figure $n$ has $n^2 + (n+1)^2$ unit squares

解答：

图形 $n$ 可以看作前 $n$ 个奇数之和加上前 $n+1$ 个奇数之和，所以单位正方形个数为 $n^2 + (n+1)^2$ 。

对图形 $100$ 有 $\begin{aligned} 100^2 + 101^2 &= 10000 + 10201 \\ &= 20201 \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 C。

Figure $n$ can be split into the sum of the first $n$ odd numbers and the first $n+1$ odd numbers, giving $n^2 + (n+1)^2$ unit squares.

For figure $100,$ this is $\begin{aligned} 100^2 + 101^2 &= 10000 + 10201 \\ &= 20201. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

13.

有 $5$ 个黄色钉、 $4$ 个红色钉、 $3$ 个绿色钉、 $2$ 个蓝色钉和 $1$ 个橙色钉，要放在一个三角形钉板上。要求任意水平行或竖直列中不能有两个同色钉。共有多少种放法？

There are $5$ yellow pegs, $4$ red pegs, $3$ green pegs, $2$ blue pegs, and $1$ orange peg to be placed on a triangular peg board. In how many ways can the pegs be placed so that no (horizontal) row or (vertical) column contains two pegs of the same color?

$0$

$1$

$5! \cdot 4! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1!$

$\frac{15!}{5! \cdot 4! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1!}$

$15!$

答案：B

知识点：有限制的排列逻辑推理

难度评级：1370

小提示：

钉板正好有五行和五列，而黄色钉有五个。

There are exactly five rows and five columns, and five yellow pegs

大提示：

某种颜色的钉数等于可用线条数时，它们必须在每条对应线中各占一个位置，这会强制它们的位置。

Each color that has as many pegs as available lines must occupy exactly one peg in each such line, forcing its positions

解答：

钉板有五行和五列。为了避免同一行或同一列中出现两个黄色钉，每行和每列都必须恰有一个黄色钉，因此五个黄色钉的位置被确定在长对角线上。

接着，四个红色钉必须分别放在第 $2$ 行至第 $5$ 行中，剩余的位置也迫使它们排在一条对角线上。继续放置绿色、蓝色和橙色钉时，每种颜色的位置也都被唯一确定。

因此恰好有一种符合条件的放法。

所以正确答案是 B。

The board has five rows and five columns. To avoid two yellow pegs in a row or column, there must be exactly one yellow peg in each row, forcing the yellow pegs onto the long diagonal.

The four red pegs must then each go in rows $2$ through $5,$ and the only positions left force them into a single diagonal as well. Continuing with green, blue, and orange, every color is forced into a unique position.

Hence there is exactly one valid arrangement.

Thus, the correct answer is B.

14.

沃尔特老师给一个只有五名学生的数学班举行考试。她把成绩按随机顺序输入电子表格，表格在每输入一个成绩后重新计算班级平均分。她注意到每次输入后，平均分总是整数。五个成绩按升序为 $71$ 、 $76$ 、 $80$ 、 $82$ 和 $91$ 。沃尔特老师最后输入的成绩是多少？

Mrs. Walter gave an exam in a mathematics class of five students. She entered the scores in random order into a spreadsheet, which recalculated the class average after each score was entered. Mrs. Walter noticed that after each score was entered, the average was always an integer. The scores (listed in ascending order) were $71,$ $76,$ $80,$ $82,$ and $91.$ What was the last score Mrs. Walter entered?

$71$

$76$

$80$

$82$

$91$

答案：C

知识点：整除性模运算平均数

难度评级：1560

小提示：

前 $n$ 个输入成绩的和必须能被 $n$ 整除。

The sum of the first $n$ entered scores must be divisible by $n$

大提示：

用这些成绩模 $3$ 的余数来确定前三个可能的成绩。

Use the residues of the scores modulo $3$ to pin down which three could be entered first

解答：

$71, 76, 80, 82, 91$ 除以 $3$ 的余数分别是 $2, 1, 2, 1, 1$ 。前三个成绩的和必须能被 $3$ 整除，唯一可行的三元组是 $76 + 82 + 91 = 249$ 。因此第三个输入的成绩是 $91$ ，前两个是 $76$ 和 $82$ 。

因为 $249$ 比 $4$ 的倍数多一，第四个成绩必须比 $4$ 的倍数多三，只有 $71$ 符合；剩下 $80$ 作为第五个成绩。

确实，部分和 $76, 158, 249, 320, 400$ 分别能被 $1, 2, 3, 4, 5$ 整除。

所以正确答案是 C。

The residues of $71, 76, 80, 82, 91$ modulo $3$ are $2, 1, 2, 1, 1.$ The sum of the first three scores must be divisible by $3,$ and the only such triple is $76 + 82 + 91 = 249,$ so the third score entered is $91$ and the first two are $76$ and $82.$

Since $249$ is one more than a multiple of $4,$ the fourth score must be three more than a multiple of $4,$ which only $71$ satisfies. That leaves $80$ as the fifth and last score.

Indeed $76, 158, 249, 320, 400$ are divisible by $1, 2, 3, 4, 5.$

Thus, the correct answer is C.

15.

两个非零实数 $a$ 和 $b$ 满足 $ab = a - b$ 。求下面表达式的一个可能值： $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - ab\text{。}$

Two non-zero real numbers, $a$ and $b,$ satisfy $ab = a - b.$ Find a possible value of $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - ab.$

$-2$

$-\dfrac12$

$\dfrac13$

$\dfrac12$

$2$

答案：E

知识点：代数变形换元法

难度评级：1420

小提示：

将 $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}$ 通分到分母 $ab$ 。

Combine $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}$ over the common denominator $ab$

大提示：

把 $ab$ 替换为 $a - b$ ，替换位置在 $(ab)^2$ 中。

Replace $ab$ with $a - b$ inside $(ab)^2$

解答：

通分到分母 $ab$ 得 $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - ab = \dfrac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}\text{。}$

代入 $ab = a - b$ ，得到 $\dfrac{a^2 + b^2 - (a - b)^2}{ab} = \dfrac{2ab}{ab} = 2\text{。}$

所以正确答案是 E。

Over the common denominator $ab,$ $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - ab = \dfrac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}.$

Substituting $ab = a - b$ gives $\dfrac{a^2 + b^2 - (a - b)^2}{ab} = \dfrac{2ab}{ab} = 2.$

Thus, the correct answer is E.

16.

图中有 $28$ 个格点，每个格点与最近的相邻格点相距一个单位。线段 $AB$ 与线段 $CD$ 交于 $E$ 。求线段 $AE$ 的长度。

The diagram shows $28$ lattice points, each one unit from its nearest neighbors. Segment $AB$ meets segment $CD$ at $E.$ Find the length of segment $AE.$

$\dfrac{4\sqrt5}{3}$

$\dfrac{5\sqrt5}{3}$

$\dfrac{12\sqrt5}{7}$

$2\sqrt5$

$\dfrac{5\sqrt{65}}{9}$

答案：B

知识点：坐标几何距离公式方程组

难度评级：1690

小提示：

取坐标 $A = (0, 3)$ 、 $B = (6, 0)$ 、 $C = (4, 2)$ 、 $D = (2, 0)$ 。

Assign coordinates $A = (0, 3),$ $B = (6, 0),$ $C = (4, 2),$ $D = (2, 0)$

大提示：

写出直线 $AB$ 和 $CD$ 的方程，并求交点 $E$ 。

Find the equations of lines $AB$ and $CD$ and solve for their intersection $E$

解答：

取坐标 $A = (0, 3)$ 、 $B = (6, 0)$ 、 $C = (4, 2)$ 、 $D = (2, 0)$ 。

直线 $AB$ 是 $x + 2y = 6$ ，直线 $CD$ 是 $x - y = 2$ 。联立解得 $E = \left(\dfrac{10}{3}, \dfrac{4}{3}\right)$ 。

因此 $\begin{aligned} AE &= \sqrt{\left(\dfrac{10}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{4}{3} - 3\right)^2} \\ &= \sqrt{\dfrac{100}{9} + \dfrac{25}{9}} \\ &= \dfrac{5\sqrt5}{3} \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 B。

Place the points at $A = (0, 3),$ $B = (6, 0),$ $C = (4, 2),$ $D = (2, 0).$

Line $AB$ is $x + 2y = 6$ and line $CD$ is $x - y = 2.$ Solving simultaneously gives $E = \left(\dfrac{10}{3}, \dfrac{4}{3}\right).$

Then $\begin{aligned} AE &= \sqrt{\left(\dfrac{10}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{4}{3} - 3\right)^2} \\ &= \sqrt{\dfrac{100}{9} + \dfrac{25}{9}} \\ &= \dfrac{5\sqrt5}{3}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

17.

Boris 有一台神奇的换硬币机器。他放入一枚二十五分硬币，机器会吐出五枚五分硬币；放入一枚五分硬币，会吐出五枚一分硬币；放入一枚一分硬币，会吐出五枚二十五分硬币。Boris 一开始只有一枚一分硬币。反复使用这台机器后，他可能拥有下列哪一个金额？

Boris has an incredible coin changing machine. When he puts in a quarter, it returns five nickels; when he puts in a nickel, it returns five pennies; and when he puts in a penny, it returns five quarters. Boris starts with just one penny. Which of the following amounts could Boris have after using the machine repeatedly?

$\$3.63$

$\$5.13$

$\$6.30$

$\$7.45$

$\$9.07$

答案：D

知识点：不变量模运算钱币

难度评级：1750

小提示：

一枚二十五分硬币换五枚五分硬币，以及一枚五分硬币换五枚一分硬币，都不会改变总金额。

A quarter for five nickels and a nickel for five pennies each leave the total value unchanged

大提示：

只有一枚一分硬币换五枚二十五分硬币会改变总金额，并且每次都增加 $\$1.24$ 。

Only the penny-for-five-quarters trade changes the total, always adding $\$1.24$

解答：

二十五分硬币换五分硬币，或五分硬币换一分硬币，都保持总金额不变。只有一分硬币换五枚二十五分硬币时，金额增加 $5 \cdot 25 - 1 = 124$ 美分。

从 $1$ 美分开始，Boris 的总金额总是 $1 + 124n$ 美分，其中 $n$ 是非负整数。

只有 $\$7.45$ 符合，因为 $745 = 1 + 124 \cdot 6$ 。

所以正确答案是 D。

Trading a quarter for five nickels or a nickel for five pennies does not change the total value. Only trading a penny for five quarters changes it, adding $5 \cdot 25 - 1 = 124$ cents.

Starting from $1$ cent, Boris always has $1 + 124n$ cents for some nonnegative integer $n.$

Only $\$7.45$ has this form, since $745 = 1 + 124 \cdot 6.$

Thus, the correct answer is D.

18.

Charlyn 沿着边长均为 $5$ 千米的正方形边界完整走一圈。在路径上的任意一点，她都能水平地看到所有方向 $1$ 千米内的点。她行走过程中能看到的所有点组成的区域面积是多少平方千米？将答案四舍五入到最接近的整数。

Charlyn walks completely around the boundary of a square whose sides are each $5$ km long. From any point on her path she can see exactly $1$ km horizontally in all directions. What is the area of the region consisting of all points Charlyn can see during her walk, expressed in square kilometers and rounded to the nearest whole number?

$24$

$27$

$39$

$40$

$42$

答案：C

知识点：面积分割圆面积估算

难度评级：1820

小提示：

把可见区域分成正方形内部的部分和外部的部分。

Split the visible region into the part inside the square and the part outside it

大提示：

外部区域由四个 $5 \times 1$ 的长方形和四个半径为 $1$ 的四分之一圆组成。

Outside, the region is four $5 \times 1$ rectangles plus four quarter circles of radius $1$

解答：

在正方形内部，她能看到除去中央边长为 $5 - 2 = 3$ 的正方形以外的所有区域，面积为 $25 - 9 = 16$ 平方千米。

在正方形外部，可见区域是四个 $5 \times 1$ 的长方形加四个半径为 $1$ 的四分之一圆，面积为 $4 \cdot 5 + \pi = 20 + \pi$ 平方千米。

总面积为 $36 + \pi \approx 39$ 平方千米。

所以正确答案是 C。

Inside the square, Charlyn sees everything except a central square of side $5 - 2 = 3,$ an area of $25 - 9 = 16$ square kilometers.

Outside the square, the region is four rectangles each $5 \times 1$ plus four quarter circles of radius $1,$ an area of $4 \cdot 5 + \pi = 20 + \pi$ square kilometers.

The total area is $36 + \pi \approx 39$ square kilometers.

Thus, the correct answer is C.

19.

过直角三角形斜边上的一点，作两条分别平行于两条直角边的直线，把三角形分成一个正方形和两个较小的直角三角形。若其中一个小直角三角形的面积是正方形面积的 $m$ 倍，则另一个小直角三角形面积与正方形面积的比是

Through a point on the hypotenuse of a right triangle, lines are drawn parallel to the legs of the triangle so that the triangle is divided into a square and two smaller right triangles. The area of one of the two small right triangles is $m$ times the area of the square. The ratio of the area of the other small right triangle to the area of the square is

$\dfrac{1}{2m + 1}$

$m$

$1 - m$

$\dfrac{1}{4m}$

$\dfrac{1}{8m^2}$

答案：D

知识点：相似面积比直角三角形

难度评级：1750

小提示：

设正方形边长为 $1$ ，并让两个小三角形的直角边分别与正方形边相接。

Let the square have side $1,$ and let the two small triangles have legs matching the square’s sides

大提示：

两个小直角三角形相似，所以对应的另一条直角边长度互为倒数。

The two small triangles are similar, so their leg lengths are reciprocals

解答：

设正方形边长为 $1$ 。一个小三角形的直角边为 $1$ 和 $r$ ，面积为 $\tfrac12 r = m$ ，所以 $r = 2m$ 。

两个小三角形相似，因此另一个小三角形的直角边为 $1$ 和 $\tfrac1r$ ，面积为 $\tfrac12 \cdot \tfrac1r = \tfrac{1}{4m}$ 。

由于正方形面积为 $1$ ，所求比值是 $\dfrac{1}{4m}$ 。

所以正确答案是 D。

Let the square have side $1.$ One small triangle has legs $1$ and $r,$ with area $\tfrac12 r = m,$ so $r = 2m.$

The two small triangles are similar, so the other has legs $1$ and $\tfrac1r,$ with area $\tfrac12 \cdot \tfrac1r = \tfrac{1}{4m}.$

Since the square has area $1,$ the desired ratio is $\dfrac{1}{4m}.$

Thus, the correct answer is D.

20.

设 $A$ 、 $M$ 和 $C$ 是非负整数，且 $A + M + C = 10$ 。求下面表达式的最大值： $\begin{aligned} &A \cdot M \cdot C + A \cdot M \\ &\quad {}+ M \cdot C + C \cdot A \end{aligned}\text{？}$

Let $A,$ $M,$ and $C$ be nonnegative integers such that $A + M + C = 10.$ What is the maximum value of $\begin{aligned} &A \cdot M \cdot C + A \cdot M \\ &\quad {}+ M \cdot C + C \cdot A? \end{aligned}$

$49$

$59$

$69$

$79$

$89$

答案：C

知识点：因式分解最优化

难度评级：1820

小提示：

给每个变量加 $1$ ，并展开 $(A+1)(M+1)(C+1)$ 。

Add $1$ to each variable and expand $(A+1)(M+1)(C+1)$

大提示：

原式等于 $(A+1)(M+1)(C+1) - 11$ ，所以要最大化三个和为 $13$ 的正整数的乘积。

The expression equals $(A+1)(M+1)(C+1) - 11,$ so maximize a product of three positive integers summing to $13$

解答：

注意 $\begin{gathered} A \cdot M \cdot C + AM + MC + CA \\ = (A+1)(M+1)(C+1) \\ {}- (A + M + C) - 1 \\ = (A+1)(M+1)(C+1) - 11 \end{gathered}\text{。}$

现在要最大化三个正整数的乘积，它们的和为 $13$ 。最平均的分配是 $4, 4, 5$ ，乘积为 $4 \cdot 4 \cdot 5 = 80$ 。

因此原式的最大值为 $80 - 11 = 69$ 。

所以正确答案是 C。

Notice that $\begin{gathered} A \cdot M \cdot C + AM + MC + CA \\ = (A+1)(M+1)(C+1) \\ {}- (A + M + C) - 1 \\ = (A+1)(M+1)(C+1) - 11. \end{gathered}$

We maximize a product of three positive integers summing to $13.$ The most balanced split is $4, 4, 5,$ giving $4 \cdot 4 \cdot 5 = 80.$

The maximum is $80 - 11 = 69.$

Thus, the correct answer is C.

21.

若所有短吻鳄都是凶猛生物，且有些爬行生物是短吻鳄，下列哪些陈述一定为真？

I. 所有短吻鳄都是爬行生物。

II. 有些凶猛生物是爬行生物。

III. 有些短吻鳄不是爬行生物。

If all alligators are ferocious creatures and some creepy crawlers are alligators, which statement(s) must be true?

I. All alligators are creepy crawlers.

II. Some ferocious creatures are creepy crawlers.

III. Some alligators are not creepy crawlers.

只有 $\mathrm{I}$

$\mathrm{I}$ only

只有 $\mathrm{II}$

$\mathrm{II}$ only

只有 $\mathrm{III}$

$\mathrm{III}$ only

只有 $\mathrm{II}$ 和 $\mathrm{III}$

$\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$ only

没有一定为真的陈述

None must be true

答案：B

知识点：逻辑推理韦恩图

难度评级：1510

小提示：

有些爬行生物是短吻鳄，而每只短吻鳄都是凶猛生物。

Some creepy crawlers are alligators, and every alligator is ferocious

大提示：

画一个图，让所有短吻鳄都位于爬行生物之内，测试 I 和 III。

Test statements I and III by drawing a diagram where alligators sit entirely inside the creepy crawlers

解答：

有些爬行生物是短吻鳄，而所有短吻鳄都是凶猛生物，所以这些对象既是爬行生物，也是凶猛生物。因此有些凶猛生物是爬行生物，即 II 一定为真。

陈述 I 不一定成立，因为并非每只短吻鳄都必须是爬行生物；陈述 III 也不一定成立，因为所有短吻鳄都有可能都是爬行生物。因此只有 II 一定成立。

所以正确答案是 B。

Some creepy crawlers are alligators, and all alligators are ferocious, so those creatures are both creepy crawlers and ferocious. Hence some ferocious creatures are creepy crawlers, making II true.

Statement I fails because not every alligator need be a creepy crawler, and III fails because it is possible that all alligators are creepy crawlers. Only II must hold.

Thus, the correct answer is B.

22.

某天早上，Angela 家的每个人都喝了一杯 $8$ 盎司的咖啡牛奶混合饮品。每杯中咖啡和牛奶的量可能不同，但都不为零。Angela 喝掉了全家牛奶总量的四分之一和咖啡总量的六分之一。Angela 家有多少人？

One morning each member of Angela’s family drank an $8$ -ounce mixture of coffee with milk. The amounts of coffee and milk varied from cup to cup, but were never zero. Angela drank a quarter of the total amount of milk and a sixth of the total amount of coffee. How many people are in the family?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

答案：C

知识点：加权平均数极限情形界定混合问题比与比例

难度评级：1900

小提示：

Angela 的一杯饮品占全家饮品总量的 $\tfrac1n$ 。

Angela’s cup is a fraction $\tfrac1n$ of everyone’s total drink

大提示：

她的一杯由总牛奶的 $\tfrac14$ 和总咖啡的 $\tfrac16$ 混合而成，所以 $\tfrac1n$ 严格介于 $\tfrac16$ 和 $\tfrac14$ 之间。

Her cup is a mix of $\tfrac14$ of the milk and $\tfrac16$ of the coffee, so $\tfrac1n$ lies strictly between $\tfrac16$ and $\tfrac14$

解答：

设共有 $n$ 人，总共喝了 $8n$ 盎司，其中牛奶总量为 $M$ ，咖啡总量为 $C$ 。Angela 只喝了其中一杯，所以 $\tfrac14 M + \tfrac16 C = \tfrac1n (M + C)\text{。}$

Angela 的一杯由总牛奶的 $\tfrac14$ 与总咖啡的 $\tfrac16$ 组成，所以 $\tfrac1n$ 严格介于 $\tfrac16$ 和 $\tfrac14$ 之间。这迫使 $4 \lt n \lt 6$ ，即 $n = 5$ 。

所以正确答案是 C。

Let there be $n$ people, drinking $8n$ ounces total, split into milk $M$ and coffee $C.$ Angela drank one cup, so $\tfrac14 M + \tfrac16 C = \tfrac1n (M + C).$

The left side is a weighted average of $\tfrac14$ and $\tfrac16,$ so $\tfrac1n$ lies strictly between $\tfrac16$ and $\tfrac14.$ That forces $4 \lt n \lt 6,$ so $n = 5.$

Thus, the correct answer is C.

23.

将列表 $10, 2, 5, 2, 4, 2, x$ 的平均数、中位数和众数按递增顺序排列后，它们形成一个非常数等差数列。所有可能的实数 $x$ 的和是多少？

When the mean, median, and mode of the list $10, 2, 5, 2, 4, 2, x$ are arranged in increasing order, they form a non-constant arithmetic progression. What is the sum of all possible real values of $x?$

$3$

$6$

$9$

$17$

$20$

答案：E

知识点：平均数中位数（数据）等差数列分类讨论

难度评级：1950

小提示：

众数是 $2$ ，平均数是 $\dfrac{25 + x}{7}$ ；中位数取决于 $x$ 的大小。

The mode is $2$ and the mean is $\dfrac{25 + x}{7};$ the median depends on where $x$ falls

大提示：

按 $x$ 的大小分情况，并要求三个有序值等间隔。

Split into cases by the size of $x,$ and require the three ordered values to be equally spaced

解答：

众数总是 $2$ ，平均数是 $\mu = \dfrac{25+x}{7}$ 。

若 $x \leq 2$ ，中位数也是 $2$ 。两个相等的数不可能属于一个非常数三项等差数列，所以这种情况没有解。

若 $2 < x < 4$ ，三个数按 $2 < x < \mu$ 排列。它们恰好在 $x-2 = \mu-x$ 时构成等差数列。代入 $\mu$ 得 $x-2 = \dfrac{25+x}{7}-x\text{，}$ 解得 $x=3$ 。

若 $x \geq 4$ ，中位数是 $4$ ，并且 $\mu>4$ 。因此条件是 $4-2 = \mu-4\text{，}$ 所以 $\mu=6$ ，且 $x=17$ 。

两个可能值是 $3$ 和 $17$ ，其和为 $20$ 。

所以正确答案是 E。

The mode is always $2,$ and the mean is $\mu = \dfrac{25+x}{7}.$

If $x \leq 2,$ the median is also $2.$ Two equal values cannot belong to a non-constant three-term arithmetic progression, so this case gives no solutions.

If $2 < x < 4,$ the values occur in the order $2 < x < \mu.$ They form an arithmetic progression exactly when $x-2 = \mu-x.$ Substituting for $\mu$ gives $x-2 = \dfrac{25+x}{7}-x,$ whose solution is $x=3.$

If $x \geq 4,$ the median is $4$ and $\mu>4.$ Thus the condition is $4-2 = \mu-4,$ so $\mu=6$ and $x=17.$

The two possible values are therefore $3$ and $17,$ whose sum is $20.$

Thus, the correct answer is E.

24.

设 $f$ 为满足 $f\left(\dfrac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1$ 的函数。求 $z$ 的所有可能值之和，其中 $f(3z) = 7$ 。

Let $f$ be a function for which $f\left(\dfrac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1.$ Find the sum of all values of $z$ for which $f(3z) = 7.$

$-\dfrac13$

$-\dfrac19$

$0$

$\dfrac59$

$\dfrac53$

答案：B

知识点：函数换元法韦达定理

难度评级：1690

小提示：

要计算所求函数值，可令 $\dfrac{x}{3} = 3z$ ，所以 $x = 9z$ 。

To make $\dfrac{x}{3} = 3z,$ set $x = 9z$

大提示：

这样会得到关于 $z$ 的二次方程；用根和公式 $-\dfrac{b}{a}$ 。

This gives a quadratic in $z;$ use the sum-of-roots formula $-\dfrac{b}{a}$

解答：

为了计算 $f(3z)$ ，令 $\dfrac{x}{3} = 3z$ ，所以 $x = 9z$ 。于是 $\begin{aligned} f(3z) &= (9z)^2 + 9z + 1 \\ &= 81z^2 + 9z + 1 \end{aligned}\text{。}$

令它等于 $7$ ，得到 $81z^2 + 9z - 6 = 0$ 。

由根和公式，所有 $z$ 的和为 $-\dfrac{9}{81} = -\dfrac19$ 。

所以正确答案是 B。

To evaluate $f(3z),$ set $\dfrac{x}{3} = 3z,$ so $x = 9z.$ Then $\begin{aligned} f(3z) &= (9z)^2 + 9z + 1 \\ &= 81z^2 + 9z + 1. \end{aligned}$

Setting this equal to $7$ gives $81z^2 + 9z - 6 = 0.$

By the sum-of-roots formula, the sum of the values of $z$ is $-\dfrac{9}{81} = -\dfrac19.$

Thus, the correct answer is B.

25.

在 $N$ 年，第 $300$ 天是星期二。在 $N + 1$ 年，第 $200$ 天也是星期二。那么 $N - 1$ 年的第 $100$ 天是星期几？

In year $N,$ the $300$ th day of the year is a Tuesday. In year $N + 1,$ the $200$ th day is also a Tuesday. On what day of the week did the $100$ th day of year $N - 1$ occur?

星期四

Thursday

星期五

Friday

星期六

Saturday

星期日

Sunday

星期一

Monday

答案：A

知识点：日期与时间模运算

难度评级：1860

小提示：

两个日期在同一星期几，当且仅当它们相隔的天数是 $7$ 的倍数。

Two dates fall on the same weekday exactly when the number of days between them is a multiple of $7$

大提示：

数一数从第 $300$ 天（ $N$ 年）到第 $200$ 天（ $N+1$ 年）有多少天，以判断 $N$ 年是否为闰年。

Count the days from day $300$ of year $N$ to day $200$ of year $N+1$ to decide whether $N$ is a leap year

解答：

从第 $300$ 天（ $N$ 年）到第 $200$ 天（ $N + 1$ 年）相隔 $(L - 300) + 200$ 天，其中 $L$ 是 $N$ 年的天数。若 $N$ 不是闰年，相隔 $265 \equiv 6 \pmod 7$ 天，对应星期一而不是星期二。所以 $N$ 是闰年，相隔 $266 = 7 \cdot 38$ 天，正好仍是星期二。

所以 $N - 1$ 年和 $N + 1$ 年都不是闰年。

第 $100$ 天（ $N - 1$ 年）比星期二（第 $300$ 天， $N$ 年）早 $(365 - 100) + 300 = 565$ 天。由于 $565 = 7 \cdot 80 + 5$ ，它比星期二早 $5$ 天，也就是星期四。

所以正确答案是 A。

From day $300$ of year $N$ to day $200$ of year $N + 1$ is $(L - 300) + 200$ days, where $L$ is the length of year $N.$ If $N$ were not a leap year, this is $265 \equiv 6 \pmod 7,$ giving a Monday, not a Tuesday. So year $N$ is a leap year, and the count is $266 = 7 \cdot 38,$ consistent with Tuesday.

Then years $N - 1$ and $N + 1$ are not leap years.

The $100$ th day of year $N - 1$ precedes the Tuesday (day $300$ of year $N$ ) by $(365 - 100) + 300 = 565$ days. Since $565 = 7 \cdot 80 + 5,$ that day is $5$ days earlier in the week than Tuesday, which is a Thursday.

Thus, the correct answer is A.