Question

设 $A$ 、 $M$ 和 $C$ 是非负整数，且 $A + M + C = 10$ 。求下面表达式的最大值： $\begin{aligned} &A \cdot M \cdot C + A \cdot M \\ &\quad {}+ M \cdot C + C \cdot A \end{aligned}\text{？}$

Let $A,$ $M,$ and $C$ be nonnegative integers such that $A + M + C = 10.$ What is the maximum value of $\begin{aligned} &A \cdot M \cdot C + A \cdot M \\ &\quad {}+ M \cdot C + C \cdot A? \end{aligned}$

$49$

$59$

$69$

$79$

$89$

答案：C

知识点：因式分解最优化

难度评级：1820

小提示：

给每个变量加 $1$ ，并展开 $(A+1)(M+1)(C+1)$ 。

Add $1$ to each variable and expand $(A+1)(M+1)(C+1)$

大提示：

原式等于 $(A+1)(M+1)(C+1) - 11$ ，所以要最大化三个和为 $13$ 的正整数的乘积。

The expression equals $(A+1)(M+1)(C+1) - 11,$ so maximize a product of three positive integers summing to $13$

解答：

注意 $\begin{gathered} A \cdot M \cdot C + AM + MC + CA \\ = (A+1)(M+1)(C+1) \\ {}- (A + M + C) - 1 \\ = (A+1)(M+1)(C+1) - 11 \end{gathered}\text{。}$

现在要最大化三个正整数的乘积，它们的和为 $13$ 。最平均的分配是 $4, 4, 5$ ，乘积为 $4 \cdot 4 \cdot 5 = 80$ 。

因此原式的最大值为 $80 - 11 = 69$ 。

所以正确答案是 C。

Notice that $\begin{gathered} A \cdot M \cdot C + AM + MC + CA \\ = (A+1)(M+1)(C+1) \\ {}- (A + M + C) - 1 \\ = (A+1)(M+1)(C+1) - 11. \end{gathered}$

We maximize a product of three positive integers summing to $13.$ The most balanced split is $4, 4, 5,$ giving $4 \cdot 4 \cdot 5 = 80.$

The maximum is $80 - 11 = 69.$

Thus, the correct answer is C.

2000 AMC 10 第 20 题

答案：C

难度评级：1820

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题