Question

将数列 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ 重新排列，有多少种排列使得不存在连续三项递增，也不存在连续三项递减？

In how many ways can the sequence $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5$ be rearranged so that no three consecutive terms are increasing and no three consecutive terms are decreasing?

$10$

$18$

$24$

$32$

$44$

答案：D

知识点：有限制的排列双射

难度评级：1950

小提示：

有效排列中，相邻项之间的大小比较符号必须交替。

A valid permutation must have comparison signs that alternate

大提示：

先数“升降升降”型排列，再用对称性得到相反型。

Count the up-down-up-down permutations and use symmetry for the reverse pattern

视频讲解：

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文字解答：

一个排列有效，当且仅当相邻两项之间的四个比较符号交替出现。因此这些符号只能是升降升降或降升降升。

对升降升降型，最大的数 $5$ 必须位于第 $2$ 位或第 $4$ 位。若它在第 $2$ 位，设第 $4$ 位上的数为 $r$ 。它的两个相邻数必须是小于 $r$ 的两个不同的数，共有 $(r-1)(r-2)$ 种排法。对 $r=1,2,3,4$ 求和，得到 $0+0+2+6=8$ 个排列。由对称性，当 $5$ 在第 $4$ 位时另有 $8$ 个，所以这种比较模式共有 $16$ 个排列。

把每个数 $x$ 替换为 $6-x$ ，可与降升降升型一一对应，所以另有 $16$ 个。

总共有 $16+16=32$ 个有效排列。

所以正确答案是 D。

A permutation is valid exactly when the four comparison signs between consecutive terms alternate. Thus the signs must be either up-down-up-down or down-up-down-up.

For the up-down-up-down pattern, the largest entry $5$ must be in position $2$ or position $4.$ If it is in position $2,$ let the entry in position $4$ be $r.$ Its two neighbors must be distinct numbers less than $r,$ which can be ordered in $(r-1)(r-2)$ ways. Summing over $r=1,2,3,4$ gives $0+0+2+6=8$ permutations. By symmetry there are another $8$ when $5$ is in position $4,$ for a total of $16$ with this comparison pattern.

Replacing every entry $x$ by $6-x$ gives a bijection to the down-up-down-up permutations, so there are another $16.$

The total number of valid rearrangements is $16+16=32.$

Thus, D is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring 第 20 题