Question

函数 $f$ 递归定义为 $f(1) = f(2) = 1$ ，且

$f(n) = f(n - 1) - f(n - 2) + n$

对所有整数 $n \ge 3$ 成立。求 $f(2018)$ 。

A function $f$ is defined recursively by $f(1) = f(2) = 1$ and

$f(n) = f(n - 1) - f(n - 2) + n$

for all integers $n \ge 3.$ What is $f(2018)?$

$2016$

$2017$

$2018$

$2019$

$2020$

答案：B

知识点：递推找规律

难度评级：1910

小提示：

寻找形如 $f(n) = n + c$ 的特解；减去它后得到 $g(n) = g(n-1) - g(n-2)$ 。

Look for a particular solution of the form $f(n) = n + c;$ subtracting it leaves $g(n) = g(n-1) - g(n-2)$

大提示：

这个齐次递推的周期为 $6$ ；把 $2018$ 对 $6$ 取模。

That homogeneous recursion is periodic with period $6;$ reduce $2018$ modulo $6$

解答：

注意 $f(n) = n + 1$ 本身就满足这个递推式，因此令 $f(n) = (n + 1) + g(n)$ ，则 $g$ 满足对应的齐次递推 $g(n) = g(n-1) - g(n-2)$ 。由初值得 $g(1) = -1$ 且 $g(2) = -2$ ，于是序列以 $6$ 为周期循环： $-1, -2, -1, 1, 2, 1, \ldots$ 。因为 $2018 \equiv 2 \pmod 6$ ，所以 $g(2018) = -2$ ，于是 $f(2018) = 2019 - 2 = 2017$ 。正确答案是 B。

Notice $f(n) = n + 1$ solves the recurrence on its own, so write $f(n) = (n + 1) + g(n).$ Then $g$ satisfies the homogeneous version $g(n) = g(n-1) - g(n-2).$ With $g(1) = -1$ and $g(2) = -2,$ it cycles with period $6$ : $-1, -2, -1, 1, 2, 1, \ldots.$ Since $2018 \equiv 2 \pmod 6,$ we get $g(2018) = -2,$ so $f(2018) = 2019 - 2 = 2017.$ Therefore, the answer is B.

2018 AMC 10B 第 20 题

答案：B

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

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