Question

乘积 $(8)(888\dots8)$ 中第二个因子有 $k$ 位数字。该乘积是一个各位数字和为 $1000$ 的整数。求 $k$ 。

The product $(8)(888\dots8),$ where the second factor has $k$ digits, is an integer whose digits have a sum of $1000.$ What is $k?$

$901$

$911$

$919$

$991$

$999$

答案：D

知识点：数字找规律数学归纳法

难度评级：1660

小提示：

先乘几个小例子，观察数字模式。

Multiply a few examples to see the digit pattern

大提示：

对 $k\ge3$ ，乘积中有 $k-2$ 个数字 $1$ 。

For $k\ge3$ , the product has $k-2$ digits equal to $1$

解答：

由 $k$ 个数字 $8$ 组成的数为 $8\frac{10^k-1}{9}$ ，所以乘积为 $\begin{aligned} 64\frac{10^k-1}{9} &=7\cdot10^k\\ &\quad+100\frac{10^{k-2}-1}{9}\\ &\quad+4 \end{aligned}\text{。}$ 当 $k\ge2$ 时，这个数的各位依次是 $7$ 、 $k-2$ 个一，再接 $0,4$ 。

因此，对任意 $k \geq 3$ ，乘积的各位数字和为 $7 + 4 + 0 + k - 2 = k + 9\text{。}$

最后解得 $k + 9 = 1000$ $k = 991\text{。}$

所以正确答案是 D。

The $k$ -digit number made entirely of $8$ s is $8\frac{10^k-1}{9}$ , so the product is $\begin{aligned} 64\frac{10^k-1}{9} &=7\cdot10^k\\ &\quad+100\frac{10^{k-2}-1}{9}\\ &\quad+4. \end{aligned}$ For $k\ge2$ , this is the number whose digits are $7$ , followed by $k-2$ ones, then $0,4$ .

This means that for any $k \geq 3,$ the sum of the digits in the product is $7 + 4 + 0 + k - 2 = k + 9.$

Finally, we get $k + 9 = 1000$ $k = 991.$

Thus, D is the correct answer.

2014 AMC 10A 第 20 题

答案：D

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

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