Question

边长分别为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 和 $4$ 的四个立方体如图堆叠。线段 $\overline{XY}$ 位于边长为 $3$ 的立方体内部的部分有多长？

Four cubes with edge lengths $1,$ $2,$ $3,$ and $4$ are stacked as shown. What is the length of the portion of $\overline{XY}$ contained in the cube with edge length $3?$

$\dfrac{3\sqrt{33}}5$

$2\sqrt3$

$\dfrac{2\sqrt{33}}3$

$4$

$3\sqrt2$

答案：A

知识点：立体几何距离公式相似

难度评级：1790

小提示：

整条线段 $XY$ 的竖直变化为 $10$ 。

The whole segment $XY$ has vertical change $10$

大提示：

在线段中位于边长 $3$ 立方体内的部分，与整条线段的比例等于对应竖直变化的比例。

The part inside the side- $3$ cube is the same fraction of the full segment as its vertical change

解答：

从 $X$ 到 $Y$ 的 $z$ 轴方向距离为 $1 + 2 + 3 + 4 = 10\text{。}$

沿 $x$ 轴和 $y$ 轴方向的距离都为 $4$ 。

因此线段全长为 $XY = \sqrt{4^2 + 4^2 + 10^2} = 2\sqrt{33}\text{。}$

取坐标 $X=(0,0,10)$ 、 $Y=(4,4,0)$ 。直线与边长为 $3$ 的立方体的上、下表面分别交于 $(\frac65,\frac65,7)$ 和 $(\frac{12}5,\frac{12}5,4)$ 。两点都在相应的正方形面内，所以线段位于这个立方体内部的部分确实有 $3$ 的竖直变化量。

设所求长度为 $x$ 。由相似三角形可得 $\dfrac{x}{3} = \dfrac{2\sqrt{33}}{10}$ $x = \dfrac{3\sqrt{33}}{5}\text{。}$

所以正确答案是 A。

The distance between $X$ and $Y$ with respect to the $z$ -axis is $1 + 2 + 3 + 4 = 10.$

Both the distances along the $x$ and $y$ -axes are $4.$

Then $XY = \sqrt{4^2 + 4^2 + 10^2} = 2\sqrt{33}.$

Using coordinates $X=(0,0,10)$ and $Y=(4,4,0)$ , the line meets the top and bottom of the side- $3$ cube at $(\frac65,\frac65,7)$ and $(\frac{12}5,\frac{12}5,4)$ . Both points lie inside those square faces, so the portion inside this cube really does have vertical change $3$ .

Let the desired length be $x.$ Then using similar triangles, we have that $\dfrac{x}{3} = \dfrac{2\sqrt{33}}{10}$ $x = \dfrac{3\sqrt{33}}{5}.$

Thus, A is the correct answer.

2014 AMC 10A 第 19 题

答案：A

难度评级：1790

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题