Question

设 $L_n$ 表示 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $\ldots$ 、 $n$ 这些数的最小公倍数，并设 $h$ 为唯一的正整数，使得 $\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{17} = \dfrac{h}{L_{17}}$ 求 $h$ 除以 $17$ 的余数。

Let $L_n$ denote the least common multiple of the numbers $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $n,$ and let $h$ be the unique positive integer such that $\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{17} = \dfrac{h}{L_{17}}$ What is the remainder when $h$ is divided by $17?$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

答案：C

知识点：模运算最小公倍数质因数分解

难度评级：2150

小提示：

先乘以最小公倍数，再在模 $17$ 下计算

Work modulo $17$ after multiplying by the least common multiple

大提示：

模 $17$ 时，除了来自 $\frac{1}{17}$ 的项之外，其余各项都为零

All terms except the one from $\frac{1}{17}$ vanish modulo $17$

解答：

将调和和乘以 $L_{17}$ ，得到 $h=\sum_{i=1}^{17}\frac{L_{17}}{i}$ 。

对 $1\le i\le16$ ，项 $\frac{L_{17}}{i}$ 仍能被 $17$ 整除，所以这些项贡献 $0\pmod{17}$ 。

因此 $h\equiv \frac{L_{17}}{17}\pmod{17}$ 。最小公倍数 $L_{17}$ 含有素数幂因子 $16,9,5,7,11,13,17$ ，所以 $\begin{aligned} \frac{L_{17}}{17} &\equiv 16\cdot9\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13 \\ &\pmod{17} \end{aligned}\text{。}$

模 $17$ 化简后，这就是 $(-1)\cdot9\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13$ $\equiv5\pmod{17}$ 。

所以正确答案是 C。

Multiplying the harmonic sum by $L_{17},$ we get $h=\sum_{i=1}^{17}\frac{L_{17}}{i}.$

For $1\le i\le16,$ the term $\frac{L_{17}}{i}$ is still divisible by $17,$ so these terms contribute $0\pmod{17}.$

Thus $h\equiv \frac{L_{17}}{17}\pmod{17}.$ The least common multiple $L_{17}$ contains the prime-power factors $16,9,5,7,11,13,17,$ so $\begin{aligned} \frac{L_{17}}{17} &\equiv 16\cdot9\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13 \\ &\pmod{17}. \end{aligned}$

Reducing modulo $17,$ this is $(-1)\cdot9\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13$ $\equiv5\pmod{17}.$

Thus, C is the correct answer.

2022 AMC 10A 第 19 题

答案：C

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题