Question

由图像 $x^2+y^2 = 3|x-y| + 3|x+y|$ 围成的区域面积为 $m+n\pi$ ，其中 $m$ 、 $n$ 是整数。求 $m + n$ 。

The area of the region bounded by the graph of $x^2+y^2 = 3|x-y| + 3|x+y|$ is $m+n\pi,$ where $m$ and $n$ are integers. What is $m + n?$

$18$

$27$

$36$

$45$

$54$

答案：E

知识点：绝对值圆面积分割

难度评级：2150

小提示：

按 $x-y$ 和 $x+y$ 的符号分成四种情况。

Split the graph by the signs of $x-y$ and $x+y$

大提示：

四种情况会给出围绕中心正方形的半圆弧。

The four cases give semicircle arcs around a central square

解答：

按 $x-y$ 和 $x+y$ 的符号分类。例如在一种情况中， $|x-y|=x-y$ 且 $|x+y|=x+y$ ，所以

$\begin{gathered} x^2+y^2=6x \\ \quad\Longrightarrow\quad (x-3)^2+y^2=9 \end{gathered}\text{。}$

其余三种情况类似，得到半径为 $3$ 、圆心分别在 $(0,3)$ 、 $(-3,0)$ 和 $(0,-3)$ 的圆。相应的四段全等圆弧就构成了图像的边界。

围成区域由边长 $6$ 的中心正方形和四个半径为 $3$ 的半圆组成。正方形面积为 $36$ ，四个半圆的总面积等于两个半径为 $3$ 的圆，即 $18\pi$ 。

因此面积为 $36+18\pi$ ，所以 $m+n=36+18=54$ 。

所以正确答案是 E。

Consider the four sign cases for $x-y$ and $x+y.$ In one case, for example, $|x-y|=x-y$ and $|x+y|=x+y,$ so

$\begin{gathered} x^2+y^2=6x \\ \quad\Longrightarrow\quad (x-3)^2+y^2=9. \end{gathered}$

The other three cases similarly give circles of radius $3$ centered at $(0,3),$ $(-3,0),$ and $(0,-3).$ The relevant arcs form the boundary shown by these four congruent circle pieces.

The region consists of a central square of side length $6,$ together with four semicircles of radius $3.$ The square contributes area $36,$ and the four semicircles have the area of two full radius- $3$ circles, namely $18\pi.$

Therefore the area is $36+18\pi,$ so $m+n=36+18=54.$

Thus, E is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring 第 19 题

答案：E

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题