Question

设 $S$ 是一个有限的正整数集合。

如果从 $S$ 中移除 $S$ 中最大的整数，剩余整数的平均值为 $32$ 。如果再从 $S$ 中移除最小的整数，剩余整数的平均值为 $35$ 。如果随后把最大的整数放回 $S$ ，平均值升高到 $40$ 。原集合 $S$ 中最大的整数比最小的整数大 $72$ 。

集合 $S$ 中所有整数的平均值是多少？

Suppose that $S$ is a finite set of positive integers.

If the greatest integer in $S$ is removed from $S,$ then the average value (arithmetic mean) of the integers remaining is $32.$ If the least integer in $S$ is also removed, then the average value of the integers remaining is $35.$ If the greatest integer is then returned to the set, the average value of the integers rises to $40.$ The greatest integer in the original set $S$ is $72$ greater than the least integer in $S.$

What is the average value of all the integers in the set $S?$

$36.2$

$36.4$

$36.6$

$36.8$

$37$

答案：D

知识点：平均数方程组

难度评级：1540

小提示：

用总和、最小值、最大值和集合大小写出三个平均数方程。

Write equations for the three averages using the total sum, least value, greatest value, and set size

大提示：

将两个分母为 $n-1$ 的平均数方程相减，利用差为 $72$ 。

Subtract the two averages with denominator $n-1$ to use the difference $72$

视频讲解：

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文字解答：

设所有整数之和为 $s$ ，最大数为 $g$ ，最小数为 $l$ ，集合 $S$ 的大小为 $n$ 。

两个含 $n-1$ 个元素的集合的平均数给出 $\begin{aligned} s-l&=40(n-1),\\ s-g&=32(n-1) \end{aligned}\text{。}$ 两式相减并利用 $g-l=72$ ，得 $72=8(n-1)$ ，所以 $n=10$ 。

同时去掉最大数和最小数后，还剩 $8$ 个数，其和为 $8\cdot35=280$ 。另一方面，只去掉最小数时剩下的和为 $9\cdot40=360$ ，所以 $g=360-280=80$ 。于是 $l=80-72=8$ ，原来的总和为 $s=280+80+8=368$ 。

平均值为 $\frac{s}{n}=\frac{368}{10}=36.8$ 。

所以答案是 D。

Let the sum of all the integers be $s,$ the greatest number be $g,$ the least number be $l,$ and the size of $S$ be $n.$

The two averages of sets with $n-1$ elements give $\begin{aligned} s-l&=40(n-1),\\ s-g&=32(n-1). \end{aligned}$ Subtracting and using $g-l=72$ gives $72=8(n-1),$ so $n=10.$

Removing both extremes leaves $8$ numbers with sum $8\cdot35=280.$ On the other hand, removing only the least number leaves a sum of $9\cdot40=360,$ so $g=360-280=80.$ Hence $l=80-72=8,$ and the original sum is $s=280+80+8=368.$

The required average is $\frac{s}{n}=\frac{368}{10}=36.8.$

Thus, the answer is D .

2021 AMC 10B Spring 第 19 题