Question

半径为 $2$ 的圆以 $O$ 为圆心。正方形 $OABC$ 的边长为 $1$ 。边 $\overline{AB}$ 和 $\overline{CB}$ 分别越过 $B$ 延长，与圆交于 $D$ 和 $E$ 。图中由 $\overline{BD}$ 、 $\overline{BE}$ 以及连接 $D$ 和 $E$ 的小弧围成的阴影区域面积是多少？

A circle of radius $2$ is centered at $O.$ Square $OABC$ has side length $1.$ Sides $\overline{AB}$ and $\overline{CB}$ are extended past $B$ to meet the circle at $D$ and $E,$ respectively. What is the area of the shaded region in the figure, which is bounded by $\overline{BD},$ $\overline{BE},$ and the minor arc connecting $D$ and $E?$

$\dfrac{\pi}{3}+1-\sqrt{3}$

$\dfrac{\pi}{2}(2-\sqrt{3})$

$\pi(2-\sqrt{3})$

$\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$

$\dfrac{\pi}{3}-1+\sqrt{3}$

答案：A

知识点：扇形三角形面积导角

难度评级：1820

小提示：

利用 $OC=1$ 和 $OE=2$ 求出 $\angle EOA=30^\circ$ 。

Use $OC=1$ and $OE=2$ to find $\angle EOA=30^\circ$

大提示：

阴影面积等于扇形 $DOE$ 减去两个直角三角形 $OBD$ 和 $OBE$ 。

Shaded area equals sector $DOE$ minus the two right triangles $OBD$ and $OBE$

解答：

因为 $OA=1$ 、 $OD=2$ ，且 $D$ 在直线 $x=1$ 上，所以 $\angle AOD=60^\circ$ ， $\angle COE=60^\circ$ ， $\angle DOE=30^\circ$ 。

因此扇形 $DOE$ 的面积为 $\tfrac{30}{360}\pi(2^2)=\tfrac{\pi}{3}$ 。

阴影区域是这个扇形减去三角形 $OBD$ 和 $OBE$ 。由于 $BD=BE=\sqrt3-1$ ，每个三角形面积为 $\tfrac12(\sqrt3-1)(1)$ ，合计为 $\sqrt3-1$ 。

所以阴影面积为 $\tfrac{\pi}{3}-(\sqrt3-1)=\tfrac{\pi}{3}+1-\sqrt3$ 。

所以正确答案是 A。

Since $OA=1$ and $OD=2$ with $D$ on the line $x=1,$ we get $\angle AOD=60^\circ,$ and likewise $\angle COE=60^\circ,$ so $\angle DOE=30^\circ.$

The sector $DOE$ has area $\tfrac{30}{360}\pi(2^2)=\tfrac{\pi}{3}.$

The region is this sector minus triangles $OBD$ and $OBE.$ With $BD=BE=\sqrt3-1,$ each triangle has area $\tfrac12(\sqrt3-1)(1),$ totaling $\sqrt3-1.$

So the shaded area is $\tfrac{\pi}{3}-(\sqrt3-1)=\tfrac{\pi}{3}+1-\sqrt3.$

Thus, the correct answer is A.

2006 AMC 10B 第 19 题

答案：A

难度评级：1820

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题