Question

有多少个互不相似的三角形，其三个角的度数是互不相同的正整数，并且成等差数列？

How many non-similar triangles have angles whose degree measures are distinct positive integers in arithmetic progression?

$0$

$1$

$59$

$89$

$178$

答案：C

知识点：角度和等差数列区间内整数计数

难度评级：1630

小提示：

如果三个角成等差数列，中间角为 $60^\circ$ 。

If the angles are in arithmetic progression, the middle angle is $60^\circ$

大提示：

公差 $d$ 满足 $1 \le d \le 59$ 。

The common difference $d$ satisfies $1 \le d \le 59$

解答：

设三个角为 $n - d$ ， $n$ ， $n + d$ 。它们的和为 $3n = 180$ ，所以 $n = 60$ 。

角度是互不相同的正整数，所以 $d \ge 1$ ，且 $n - d \gt 0$ 迫使 $d \lt 60$ 。因此 $d \in \{1, 2, \ldots, 59\}$ ，给出 $59$ 个互不相似的三角形。

所以正确答案是 C。

Let the angles be $n - d,$ $n,$ $n + d.$ Their sum is $3n = 180,$ so $n = 60.$

The measures are distinct positive integers, so $d \ge 1,$ and $n - d \gt 0$ forces $d \lt 60.$ Thus $d \in \{1, 2, \ldots, 59\},$ giving $59$ non-similar triangles.

Thus, the correct answer is C.

2006 AMC 10A 第 19 题

答案：C

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题