Question

设 $S$ 为 $100{,}000$ 的所有正整数因数组成的集合。有多少个数可以表示为 $S$ 中两个不同元素的乘积？

Let $S$ be the set of all positive integer divisors of $100{,}000.$ How many numbers are the product of two distinct elements of $S?$

$98$

$100$

$117$

$119$

$121$

答案：C

知识点：质因数分解因数个数

难度评级：2010

小提示：

把因数写成 $2^a5^b$ 的形式。

Represent divisors as $2^a5^b$

大提示：

乘积对应指数相加，但要排除只能由两个相同因数得到的情况。

Products correspond to sums of exponents, except when only equal factors can create them

解答：

首先注意到 $100,000=2^5\cdot5^5$ 。

因此， $S$ 中任一元素都形如 $2^a5^b$ ，其中 $0 \leq a,b \leq 5$ 。

设 $x,y \in S$ 是两个不同的元素，且 $x = 2^a5^b\text{，}$ $y=2^c5^d\text{。}$ 于是 $xy = 2^{a+c}5^{b+d}\text{。}$ 因此 $0 \leq a+c,b+d \leq 10\text{。}$ 这说明乘积的指数对至多有 $(10+1)(10+1)=121$ 种。不过其中有些只能在 $x=y$ 时出现，也就是 $(a,b)=(c,d)$ 的情形。

若 $a+c=0$ ，则必须有 $a=0,c=0$ 。

若 $a+c=10$ ，则必须有 $a=5,c=5$ 。

当 $a+c$ 取其他值时，可以让 $a \neq c$ 。

对 $b+d$ 也有类似的结构。因此，若 $a+c,b+d \in \{0,10\}\text{，}$ 则 $(a,b)=(c,d)\text{，}$ 从而 $x=y$ 。

因此必须排除 $4$ 种选择，剩下 $121-4=117\text{。}$

所以答案是 C。

First, note that $100,000=2^5\cdot5^5.$

Therefore, any element of $S$ must be of the form $2^a5^b$ with $0 \leq a,b \leq 5.$

Suppose I have distinct $x,y \in S$ with $x = 2^a5^b,$ $y=2^c5^d.$ Then, $xy = 2^{a+c}5^{b+d}.$ Thus, $0 \leq a+c,b+d \leq 10.$ This means that there are $(10+1)(10+1)=121$ possible exponent pairs for a product. However, some products can arise only when $x=y$ , namely when $(a,b)=(c,d)$ .

If $a+c=0,$ then $a=0,c=0$ must be true.

If $a+c=10,$ then $a=5,c=5$ must be true.

With any other value of $a+c,$ we can have $a \neq c.$

Similar structure holds for $b+d.$ Thus, if $a+c,b+d \in \{0,10\},$ then $(a,b)=(c,d),$ thus making $x=y.$

This means we have to eliminate $4$ choices, leaving $121-4=117.$

Thus, the answer is C .

2019 AMC 10B 第 19 题

答案：C

难度评级：2010

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题