Question

长方形 $ABCD$ 中， $AB=5$ ， $BC=4$ 。点 $E$ 在 $\overline{AB}$ 上且 $EB=1$ ，点 $G$ 在 $\overline{BC}$ 上且 $CG=1$ ，点 $F$ 在 $\overline{CD}$ 上且 $DF=2$ 。线段 $\overline{AG}$ 与 $\overline{AC}$ 分别在 $Q$ 与 $P$ 处和 $\overline{EF}$ 相交。求 $\dfrac{PQ}{EF}$ 。

Rectangle $ABCD$ has $AB=5$ and $BC=4.$ Point $E$ lies on $\overline{AB}$ so that $EB=1,$ point $G$ lies on $\overline{BC}$ so that $CG=1,$ and point $F$ lies on $\overline{CD}$ so that $DF=2.$ Segments $\overline{AG}$ and $\overline{AC}$ intersect $\overline{EF}$ at $Q$ and $P,$ respectively. What is the value of $\dfrac{PQ}{EF}?$

$~\dfrac{\sqrt{3}}{16}$

$~\dfrac{\sqrt{2}}{13}$

$~\dfrac{9}{82}$

$~\dfrac{10}{91}$

$~\dfrac19$

答案：D

知识点：相似平行线矩形

难度评级：1970

小提示：

先求 $AC$ 和 $AG$ 在 $EF$ 上的交点位置。

First find where $AC$ and $AG$ cut $EF$

大提示：

用相似三角形表示 $\frac{PF}{EF}$ 与 $\frac{QF}{EF}$ 。

Use similar triangles to express $\frac{PF}{EF}$ and $\frac{QF}{EF}$

解答：

我们有 $AE=AB-EB=4$ 和 $FC=DC-DF=3$ 。因为 $AE\parallel FC$ ，所以三角形 $AEP$ 与 $CFP$ 相似。于是 $\frac{PF}{PE}=\frac{FC}{AE}=\frac34\text{，}$ 从而 $\frac{PF}{EF}=\frac37$ 。

延长 $AG$ ，与直线 $CD$ 交于 $X$ 。因为 $BG=3$ ，由相似得 $\frac{AD}{DX}=\frac{BG}{AB},\qquad \frac4{DX}=\frac35\text{，}$ 于是 $DX=\frac{20}{3}$ 。因此 $FX=DX-DF=\frac{14}{3}$ 。又因为 $AE\parallel FX$ ，三角形 $AEQ$ 与 $XFQ$ 相似，所以 $\frac{QF}{QE}=\frac{FX}{AE}=\frac76\text{。}$ 从而 $\frac{QF}{EF}=\frac7{13}$ 。

因此 $\begin{aligned} \frac{PQ}{EF}&=\frac{QF}{EF}-\frac{PF}{EF} \\ &=\frac7{13}-\frac37=\frac{10}{91} \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 D。

We have $AE=AB-EB=4$ and $FC=DC-DF=3.$ Since $AE\parallel FC,$ the triangles $AEP$ and $CFP$ are similar. Therefore $\frac{PF}{PE}=\frac{FC}{AE}=\frac34,$ so $\frac{PF}{EF}=\frac37.$

Extend $AG$ to meet line $CD$ at $X.$ Because $BG=3,$ similarity gives $\frac{AD}{DX}=\frac{BG}{AB},\qquad \frac4{DX}=\frac35,$ and hence $DX=\frac{20}{3}$ . Thus $FX=DX-DF=\frac{14}{3}.$ Since $AE\parallel FX,$ triangles $AEQ$ and $XFQ$ are similar, so $\frac{QF}{QE}=\frac{FX}{AE}=\frac76.$ Consequently $\frac{QF}{EF}=\frac7{13}.$

It follows that $\begin{aligned} \frac{PQ}{EF}&=\frac{QF}{EF}-\frac{PF}{EF} \\ &=\frac7{13}-\frac37=\frac{10}{91}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D .

2016 AMC 10B 第 19 题

答案：D

难度评级：1970

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解答：

其他年份的第 19 题