Question

设 $a_1$ ， $a_2$ ， $\ldots$ 是一个数列，其中 $a_1=2$ ， $a_2=3$ ，且对每个正整数 $n\ge 3$ ，有 $a_n=\dfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}$ 。求 $a_{2006}$ ？

Let $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ be a sequence for which $a_1=2,$ $a_2=3,$ and $a_n=\dfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}$ for each positive integer $n\ge 3.$ What is $a_{2006}?$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{2}$

$2$

$3$

答案：E

知识点：递推找规律

难度评级：1280

小提示：

计算前几项，找出重复循环。

Compute the first several terms to detect a repeating cycle

大提示：

数列每 $6$ 项重复一次；将 $2006$ 对 $6$ 取余。

The sequence repeats every $6$ terms; reduce $2006$ modulo $6$

解答：

前几项为 $2,\,3,\,\tfrac32,\,\tfrac12,\,\tfrac13,\,\tfrac23$ ，接着又是 $2,\,3,\ldots$ ，周期为 $6$ 。

因为 $2006=6\cdot334+2$ ，所以 $a_{2006}=a_2=3$ 。

所以正确答案是 E。

The terms are $2,\,3,\,\tfrac32,\,\tfrac12,\,\tfrac13,\,\tfrac23,$ then $2,\,3,\ldots,$ a cycle of length $6.$

Since $2006=6\cdot334+2,$ we have $a_{2006}=a_2=3.$

Thus, the correct answer is E.

2006 AMC 10B 第 18 题

答案：E

难度评级：1280

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题