Question

在下图中， $6$ 个圆盘中有 $3$ 个要涂成蓝色， $2$ 个要涂成红色， $1$ 个要涂成绿色。如果两个涂色方案可以通过整个图形的旋转或反射相互得到，则视为相同。共有多少种不同涂法？

In the figure below, $3$ of the $6$ disks are to be painted blue, $2$ are to be painted red, and $1$ is to be painted green. Two paintings that can be obtained from one another by a rotation or a reflection of the entire figure are considered the same. How many different paintings are possible?

$6$

$8$

$9$

$12$

$15$

答案：D

知识点：组合对称性分类讨论

难度评级：2010

小提示：

利用对称性，把绿色圆盘的位置化成两种情形。

Use symmetry to reduce the green disk to two cases

大提示：

对每个绿色位置，在对称意义下数红色圆盘的放法。

For each green position, count possible red-disk placements up to symmetry

解答：

由对称性，绿色圆盘的位置只有两类：角上的位置或边中点的位置。每类各固定一个代表位置。此时选出两个红色圆盘的方法有 $\binom52=10$ 种。

保持绿色位置不动的那个反射会固定其余圆盘中的一个，并把另外四个圆盘两两交换。恰好有 $2$ 种红色圆盘的选法在这个反射下不变，即选中被交换的某一对。其余 $8$ 种选法两两互为镜像，构成 $4$ 对。因此绿色圆盘的每一类位置都给出 $2+4=6$ 种涂色方案。

于是两类位置合起来给出 $6+6=12$ 种涂色方案。

所以正确答案是 D。

By symmetry, the green disk has two possible types of position: a corner or a side midpoint. Fix one representative of either type. There are $\binom52=10$ ways to choose the two red disks.

The reflection that fixes the green position fixes one of the other disks and exchanges the other four disks in two pairs. Exactly $2$ red-disk choices are unchanged by this reflection: choosing either exchanged pair. The other $8$ choices form $4$ mirror-image pairs. Hence there are $2+4=6$ paintings for each type of green position.

The two types therefore give $6+6=12$ paintings.

Thus, the correct answer is D .

2017 AMC 10B 第 18 题

答案：D

难度评级：2010

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题