Question

求和 $\lfloor\sqrt{1}\rfloor + \lfloor\sqrt{2}\rfloor + \lfloor\sqrt{3}\rfloor$ $+ \cdots + \lfloor\sqrt{2024}\rfloor$ $+ \lfloor\sqrt{2025}\rfloor$ 的个位数字是多少？（记 $\lfloor x \rfloor$ 为小于或等于 $x$ 的最大整数。）

What is the ones digit of the sum $\lfloor\sqrt{1}\rfloor + \lfloor\sqrt{2}\rfloor + \lfloor\sqrt{3}\rfloor$ $+ \cdots + \lfloor\sqrt{2024}\rfloor$ $+ \lfloor\sqrt{2025}\rfloor?$ (Recall that $\lfloor x \rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $x.$ )

$1$

$2$

$3$

$5$

$8$

答案：D

知识点：取整函数前n项平方和

难度评级：1730

小提示：

当 $\lfloor\sqrt{n}\rfloor = m$ 时，对应的 $2m + 1$ 个数满足 $m^2 \le n \le (m + 1)^2 - 1$ 。

$\lfloor\sqrt{n}\rfloor = m$ for the $2m + 1$ values $m^2 \le n \le (m + 1)^2 - 1$

大提示：

因为 $\sqrt{2025} = 45$ ，对 $m = 1$ 到 $44$ 求和 $m(2m + 1)$ ，再加上最后一项 $45$ 。

Since $\sqrt{2025} = 45,$ sum $m(2m + 1)$ for $m = 1$ to $44$ and add the final term $45$

解答：

对每个 $m$ ，当 $\lfloor\sqrt{n}\rfloor = m$ 时，对应的 $2m + 1$ 个整数满足 $m^2 \le n \le (m + 1)^2 - 1$ 。因为 $\sqrt{2025} = 45$ ，所以 $1 \le m \le 44$ 的项贡献 $\sum_{m=1}^{44} m(2m + 1)$ ，再加上 $n = 2025$ 对应的 $45$ 。这个和为 $\sum_{m=1}^{44}(2m^2 + m)$ $= 2 \cdot \tfrac{44 \cdot 45 \cdot 89}{6}$ $+ \tfrac{44 \cdot 45}{2} = 58740$ $+ 990 = 59730$ ，所以总和是 $59775$ ，个位数字为 $5$ 。因此正确答案是 D。

For each $m,$ $\lfloor\sqrt{n}\rfloor = m$ on the $2m + 1$ integers $m^2 \le n \le (m + 1)^2 - 1.$ Since $\sqrt{2025} = 45,$ the terms with $1 \le m \le 44$ contribute $\sum_{m=1}^{44} m(2m + 1),$ and $n = 2025$ tacks on $45.$ That sum is $\sum_{m=1}^{44}(2m^2 + m)$ $= 2 \cdot \tfrac{44 \cdot 45 \cdot 89}{6}$ $+ \tfrac{44 \cdot 45}{2} = 58740$ $+ 990 = 59730,$ so the total is $59775.$ Its ones digit is $5.$ Therefore, the answer is D.

2025 AMC 10B 第 18 题

答案：D

难度评级：1730

小提示：

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解答：

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