Question

一个整数的 $100$ 次方除以 $125$ 时，可能出现多少种不同的余数？

How many different remainders can result when the $100$ th power of an integer is divided by $125?$

$1$

$2$

$5$

$25$

$125$

答案：B

知识点：欧拉函数模幂运算分类讨论

难度评级：1840

小提示：

$125 = 5^3$ ，且 $\varphi(125) = 100$ ；把 $n$ 与 $5$ 互质和 $n$ 被 $5$ 整除两种情况分开。

$125 = 5^3$ and $\varphi(125) = 100;$ split into $n$ coprime to $5$ and $n$ divisible by $5$

大提示：

若 $\gcd(n, 5) = 1$ ，则 $n^{100} \equiv 1$ ；若 $n$ 是 $5$ 的倍数，则 $n^{100}$ 是 $5^3$ 的倍数。

If $\gcd(n, 5) = 1,$ then $n^{100} \equiv 1;$ if $n$ is divisible by $5,$ then $n^{100}$ is divisible by $5^3$

解答：

这里 $125 = 5^3$ ，且 $\varphi(125) = 100$ 。若 $\gcd(n, 5) = 1$ ，欧拉定理给出 $n^{100} \equiv 1 \pmod{125}$ 。若 $n$ 是 $5$ 的倍数，则 $n^{100}$ 含有因子 $5^{100}$ ，因而含有 $125$ ，所以 $n^{100} \equiv 0 \pmod{125}$ 。因此只可能有 $0$ 和 $1$ 两种余数。正确答案是 B。

Here $125 = 5^3$ and $\varphi(125) = 100.$ If $\gcd(n, 5) = 1,$ Euler’s theorem gives $n^{100} \equiv 1 \pmod{125}.$ And if $n$ is divisible by $5,$ then $n^{100}$ carries a factor of $5^{100},$ hence of $125,$ so $n^{100} \equiv 0 \pmod{125}.$ That leaves only two possible remainders, $0$ and $1.$ Therefore, the answer is B.

2024 AMC 10B 第 18 题

答案：B

难度评级：1840

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解答：

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