Question

恰有 $K$ 个正整数 $b$ 满足 $5 \le b \le 2024$ ，使得 $b$ 进制整数 $2024_b$ 能被 $16$ 整除（这里的 $16$ 用十进制表示）。求 $K$ 的各位数字之和。

There are exactly $K$ positive integers $b$ with $5 \le b \le 2024$ such that the base- $b$ integer $2024_b$ is divisible by $16$ (where $16$ is in base ten). What is the sum of the digits of $K?$

$16$

$17$

$18$

$20$

$21$

答案：D

知识点：进制模运算区间内整数计数

难度评级：1840

小提示：

$2024_b = 2b^3 + 2b + 4$ ；要被 $16$ 整除，需要 $b^3 + b + 2$ 能被 $8$ 整除。

$2024_b = 2b^3 + 2b + 4;$ dividing by $16$ requires $b^3 + b + 2$ to be divisible by $8$

大提示：

检查 $b \bmod 8$ ；余数 $3, 6, 7$ 可行，再统计区间 $[5, 2024]$ 中这些 $b$ 。

Check $b \bmod 8;$ the residues $3, 6, 7$ work, so count those $b$ in $[5, 2024]$

解答：

在 $b$ 进制中， $2024_b = 2b^3 + 2b + 4$ $= 2(b^3 + b + 2)$ ，因此 $2024_b$ 能被 $16$ 整除，当且仅当 $b^3 + b + 2$ 能被 $8$ 整除。检查 $b$ 模 $8$ 的余数，可知恰当余数为 $b \equiv 3, 6, 7 \pmod 8$ 。统计 $5 \le b \le 2024$ 中这三类数，得 $K = 758$ ，其各位数字之和为 $7 + 5 + 8 = 20$ ，正确答案是 D。

In base $b,$ $2024_b = 2b^3 + 2b + 4$ $= 2(b^3 + b + 2),$ so $2024_b$ is divisible by $16$ exactly when $b^3 + b + 2$ is divisible by $8.$ Test the residues modulo $8:$ this holds precisely for $b \equiv 3, 6, 7 \pmod 8.$ Counting the $b$ with $5 \le b \le 2024$ in those three classes gives $K = 758,$ whose digit sum is $7 + 5 + 8 = 20.$ Therefore, the answer is D.

2024 AMC 10A 第 18 题

答案：D

难度评级：1840

小提示：

大提示：

解答：

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