Question

三张完全相同、边长为 $6$ 的正方形纸片叠在一起。中间的纸片绕中心顺时针旋转 $30^\circ$ ，最上面的纸片绕中心顺时针旋转 $60^\circ$ ，得到下图所示的 $24$ 边形。

该多边形的面积可表示为 $a-b\sqrt{c}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为正整数，且 $c$ 不被任何质数的平方整除。求 $a+b+c$ 。

Three identical square sheets of paper each with side length $6$ are stacked on top of each other. The middle sheet is rotated clockwise $30^\circ$ about its center and the top sheet is rotated clockwise $60^\circ$ about its center, resulting in the $24$ -sided polygon shown in the figure below.

The area of this polygon can be expressed in the form $a-b\sqrt{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, and $c$ is not divisible by the square of any prime. What is $a+b+c?$

$75$

$93$

$96$

$129$

$147$

答案：E

知识点：面积分割变换三角学

难度评级：2090

小提示：

把多边形分成 $24$ 个全等三角形。

Split the polygon into $24$ congruent triangles

大提示：

每个小三角形的角为 $15^\circ,45^\circ,120^\circ$ 。

Each small triangle has angles $15^\circ,45^\circ,120^\circ$

解答：

边界可分成 $24$ 个全等三角形，角分别为 $15^\circ$ 、 $45^\circ$ 、 $120^\circ$ 。

每个三角形的高为 $3$ ，即正方形边长的一半。相邻直角三角形有一个 $30^\circ$ 角，所以从长度为 $3$ 的底边上截去的部分为 $3\tan30^\circ=\sqrt3$ 。

对其中一个三角形作高，其底为 $3-\sqrt3$ ，高为 $3$ ，面积为 $\frac{3(3-\sqrt3)}{2}=\frac{9-3\sqrt3}{2}$ 。

所以总面积为 $24\cdot\frac{9-3\sqrt3}{2}=108-36\sqrt3\text{。}$ 因此 $a+b+c=108+36+3=147$ 。

所以答案是 E。

The boundary can be split into $24$ congruent triangles. Each has angles $15^\circ,$ $45^\circ,$ and $120^\circ.$

For one such triangle, draw the altitude from the center-side direction. The altitude is $3,$ half the side length of a square. The adjacent right triangle has a $30^\circ$ angle, so the part cut off from a length $3$ base is $3\tan30^\circ=\sqrt3.$

Thus each small triangle has base $3-\sqrt3$ and height $3,$ giving area $\frac{3(3-\sqrt3)}{2}=\frac{9-3\sqrt3}{2}.$

The total area is $24\cdot\frac{9-3\sqrt3}{2}=108-36\sqrt3.$ Hence $a+b+c=108+36+3=147.$

Thus, the answer is E .

2021 AMC 10B Fall 第 18 题

答案：E

难度评级：2090

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题