Question

数 $2013$ 有这样的性质：它的个位数字等于其他数字之和，即 $2+0+1=3$ 。大于 $1000$ 且小于 $2013$ 的整数中，有多少个具有这个性质？

The number $2013$ has the property that its units digit is the sum of its other digits, that is $2+0+1=3.$ How many integers less than $2013$ but greater than $1000$ have this property?

$33$

$34$

$45$

$46$

$58$

答案：D

知识点：数字分类讨论三角形数

难度评级：1420

小提示：

按个位数字统计 $1001$ 到 $1999$ 的数。

Count numbers from $1001$ to $1999$ by their units digit

大提示：

再单独处理 $2000$ 到 $2012$ 的小范围。

Handle the small range from $2000$ to $2012$ separately

解答：

给定前三位数字时，如果它们的和不超过 $9$ ，就能确定一个满足条件的数。

按千位数字分类讨论。

如果千位是 $1$ ，那么百位和十位数字之和必须不超过 $8$ 。设其和为 $s$ ，则有 $s+1$ 种取法，因为百位数字可以从 $0$ 到 $s$ 。

因此这一情形给出第九个三角数： $\dfrac{9\cdot 10}2 =45\text{。}$

如果千位是 $2$ ，那么小于 $2013$ 的数中只有 $2002$ 满足条件，所以总数为 $46$ 。

所以正确答案是 D。

Once the first three digits are given, their sum determines the units digit, provided that the sum is at most $9.$

We separate the possibilities according to the thousands digit.

If the thousands digit is $1,$ then the sum of the hundreds and tens digits must be at most $8.$ For each possible sum $s,$ there are $s+1$ choices, because the hundreds digit can range from $0$ to $s.$

Thus, this case gives the ninth triangular number: $\dfrac{9\cdot 10}2 =45.$

If the thousands digit is $2,$ the only qualifying number below $2013$ is $2002,$ giving $46$ cases in total.

Thus, the correct answer is D.

2013 AMC 10B 第 18 题

答案：D

难度评级：1420

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题