Question

设 $T_k$ 是平面坐标变换：先将平面绕原点逆时针旋转 $k$ 度，再关于 $y$ 轴反射。求最小的正整数 $n$ ，使得依次执行变换 $T_1$ ， $T_2$ ， $T_3$ ， $\cdots$ ， $T_n$ 后，点 $(1,0)$ 回到自身。

Let $T_k$ be the transformation of the coordinate plane that first rotates the plane $k$ degrees counterclockwise around the origin and then reflects the plane across the $y$ -axis. What is the least positive integer $n$ such that performing the sequence of transformations $T_1,$ $T_2,$ $T_3,$ $\cdots,$ $T_n$ returns the point $(1,0)$ back to itself?

$359$

$360$

$719$

$720$

$721$

答案：A

知识点：变换找规律

难度评级：1950

小提示：

只追踪极坐标中的角度

Track only the angle in polar coordinates

大提示：

连续两次变换合起来相当于旋转一度

Two consecutive transformations simplify to a one-degree rotation

解答：

因为题目涉及角度和反射，使用极坐标会更方便。

设极坐标为 $(r, \theta)$ 。逆时针旋转 $k$ 度后变为 $(r, \theta + k^{\circ})$ ，再反射后变为 $(r, 180^{\circ} - \theta - k^{\circ})$ 。

因此 $T_k(r, \theta) = (r, 180^{\circ} - \theta - k^{\circ})\text{。}$

由此可见 $T_{k + 1}(T_k(r, \theta)) =$ $T_{k + 1}(r, 180^{\circ} - \theta - k^{\circ}) =$ $(r, \theta - 1^{\circ})\text{。}$

现在分析点 $(1, 0^{\circ})$ 的变化。

经过 $T_1$ 后，得到 $(1, 179^{\circ})$ 。

经过 $T_2$ 后，得到 $(1, -1^{\circ})$ 。

经过 $T_3$ 后，得到 $(1, 178^{\circ})$ 。

经过 $T_4$ 后，得到 $(1, -2^{\circ})$ 。

$\vdots$

经过 $T_{2m - 1}$ 后，得到 $(1, 180^{\circ} - m^{\circ})$ 。

经过 $T_{2m}$ 后，得到 $(1, -m^{\circ})$ 。

由此可见，角度第一次回到 $0^{\circ}$ 是在 $T_{2(180)-1}=T_{359}$ 之后。因此 $n=359$ 。

所以正确答案是 A。

Since we are working with angles and reflections, working with polar coordinates would make this problem easier to deal with.

Let $(r, \theta)$ be a polar coordinate. Rotating this by $k$ degrees counterclockwise maps the point to $(r, \theta + k^{\circ})$ and then reflecting it maps it to $(r, 180^{\circ} - \theta - k^{\circ}).$

Therefore, we have that $T_k(r, \theta) = (r, 180^{\circ} - \theta - k^{\circ}).$

From this, we can see that $T_{k + 1}(T_k(r, \theta)) =$ $T_{k + 1}(r, 180^{\circ} - \theta - k^{\circ}) =$ $(r, \theta - 1^{\circ}).$

Now, let’s analyze what happens to the point $(1, 0^{\circ}).$

After $T_1,$ we get $(1, 179^{\circ}).$

After $T_2,$ we get $(1, -1^{\circ}).$

After $T_3,$ we get $(1, 178^{\circ}).$

After $T_4,$ we get $(1, -2^{\circ}).$

$\vdots$

After $T_{2m - 1},$ we get $(1, 180^{\circ} - m^{\circ}).$

After $T_{2m},$ we get $(1, -m^{\circ}).$

From this, we can see that the first time the angle is back to $0^{\circ}$ is after $T_{2(180)-1}=T_{359}.$ Therefore $n=359.$

Thus, A is the correct answer.

2022 AMC 10A 第 18 题

答案：A

难度评级：1950

小提示：

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解答：

其他年份的第 18 题