Question

假设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为正整数，满足 $\frac{a}{14} + \frac{b}{15} = \frac{c}{210}\text{。}$ 下列哪些命题必定为真？

I. 如果 $\gcd(a, 14) = 1$ 或 $\gcd(b, 15) = 1$ ，或两者都成立，则 $\gcd(c, 210) = 1$ 。

II. 如果 $\gcd(c, 210) = 1$ ，则 $\gcd(a, 14) = 1$ 或 $\gcd(b, 15) = 1$ ，或两者都成立。

III. $\gcd(c, 210) = 1$ 当且仅当 $\gcd(a, 14) = \gcd(b, 15) = 1$ 。

Suppose $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers such that $\frac{a}{14} + \frac{b}{15} = \frac{c}{210}.$ Which of the following statements are necessarily true?

I. If $\gcd(a, 14) = 1$ or $\gcd(b, 15) = 1$ or both, then $\gcd(c, 210) = 1.$

II. If $\gcd(c, 210) = 1,$ then $\gcd(a, 14) = 1$ or $\gcd(b, 15) = 1$ or both.

III. $\gcd(c, 210) = 1$ if and only if $\gcd(a, 14) = \gcd(b, 15) = 1.$

$\mathrm{I}$ 、 $\mathrm{II}$ 和 $\mathrm{III}$

$\mathrm{I},$ $\mathrm{II},$ and $\mathrm{III}$

仅 $\mathrm{I}$

$\mathrm{I}$ only

仅 $\mathrm{I}$ 和 $\mathrm{II}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{II}$ only

仅 $\mathrm{III}$

$\mathrm{III}$ only

仅 $\mathrm{II}$ 和 $\mathrm{III}$

$\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$ only

答案：E

知识点：最大公约数模运算逻辑推理

难度评级：1910

小提示：

清除分母得到 $c = 15a + 14b$ ，再模 $2, 3, 5, 7$ 化简。

Clear denominators to get $c = 15a + 14b,$ then reduce modulo $2, 3, 5, 7$

大提示：

$\gcd(c, 210) = 1$ 会分别限制 $a$ 在模 $2, 7$ 意义下以及 $b$ 在模 $3, 5$ 意义下的余数。

$\gcd(c, 210) = 1$ forces conditions on $a$ modulo $2, 7$ and on $b$ modulo $3, 5$

解答：

清除分母得 $c = 15a + 14b$ 。对 $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ 的质因数分别取模： $c \equiv a \pmod 2$ ， $c \equiv 2b \pmod 3$ ， $c \equiv 4b \pmod 5$ ， $c \equiv a \pmod 7$ 。因此 $\gcd(c, 210) = 1$ 当且仅当 $a$ 既不是 $2$ 的倍数也不是 $7$ 的倍数，且 $b$ 既不是 $3$ 的倍数也不是 $5$ 的倍数，这正是 $\gcd(a, 14) = 1$ 且 $\gcd(b, 15) = 1$ 。所以 III 为真，也使 II 为真。I 不一定为真。例如 $a = 1, b = 3$ ，则 $\gcd(a, 14) = 1$ ，但 $c = 57$ 能被 $3$ 整除。因此只有 II 和 III 为真，正确答案是 E。

Clear denominators to get $c = 15a + 14b.$ Reduce modulo the primes of $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7:$ $c \equiv a \pmod 2,$ $c \equiv 2b \pmod 3,$ $c \equiv 4b \pmod 5,$ and $c \equiv a \pmod 7.$ So $\gcd(c, 210) = 1$ iff $a$ is divisible by neither $2$ nor $7$ and $b$ is divisible by neither $3$ nor $5,$ which is exactly $\gcd(a, 14) = 1$ and $\gcd(b, 15) = 1.$ That settles III, and it makes II true since the “and” implies the “or.” Statement I fails, though: take $a = 1, b = 3.$ Then $\gcd(a, 14) = 1,$ yet $c = 57$ is divisible by $3.$ So only II and III hold. Therefore, the answer is E.

2023 AMC 10B 第 18 题

答案：E

难度评级：1910

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解答：

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