Question

在矩形 $ABCD$ 中， $A=(6,-22)$ 、 $B=(2006,178)$ ，且 $D=(8,y)$ ，其中 $y$ 为整数。矩形 $ABCD$ 的面积是多少？

In rectangle $ABCD,$ we have $A=(6,-22),$ $B=(2006,178),$ and $D=(8,y)$ for some integer $y.$ What is the area of rectangle $ABCD?$

$4000$

$4040$

$4400$

$40{,}000$

$40{,}400$

答案：E

知识点：坐标几何斜率距离公式

难度评级：1580

小提示：

$\overline{AB}\perp\overline{AD}$ ，所以它们的斜率乘积为 $-1$ 。

$\overline{AB}\perp\overline{AD},$ so their slopes multiply to $-1$

大提示：

面积为 $AB\cdot AD$ 。

The area is $AB\cdot AD$

解答：

$\overline{AB}$ 的斜率为 $\tfrac{178-(-22)}{2006-6}=\tfrac{200}{2000}=\tfrac1{10}$ 。由于 $\overline{AD}\perp\overline{AB}$ ，其斜率为 $-10$ ，所以 $\tfrac{y+22}{8-6}=-10$ ，得到 $y=-42$ 。

于是 $AB=\sqrt{2000^2+200^2}$ $=200\sqrt{101}$ ，且 $AD=\sqrt{2^2+20^2}=2\sqrt{101}$ 。

面积为 $200\sqrt{101}\cdot2\sqrt{101}$ $=400\cdot101$ $=40{,}400$ 。

所以正确答案是 E。

The slope of $\overline{AB}$ is $\tfrac{178-(-22)}{2006-6}=\tfrac{200}{2000}=\tfrac1{10}.$ Since $\overline{AD}\perp\overline{AB},$ its slope is $-10,$ so $\tfrac{y+22}{8-6}=-10$ gives $y=-42.$

Then $AB=\sqrt{2000^2+200^2}$ $=200\sqrt{101}$ and $AD=\sqrt{2^2+20^2}=2\sqrt{101}.$

The area is $200\sqrt{101}\cdot2\sqrt{101}$ $=400\cdot101$ $=40{,}400.$

Thus, the correct answer is E.

2006 AMC 10B 第 20 题

答案：E

难度评级：1580

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题