Question

在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 和 $E$ 分别在 $\overline{BC}$ 和 $\overline{AC}$ 上。若 $\overline{AD}$ 与 $\overline{BE}$ 交于 $T$ ，且 $\frac{AT}{DT} = 3$ 、 $\frac{BT}{ET} = 4$ ，求 $\frac{CD}{BD}$ 。

In $\triangle ABC$ points $D$ and $E$ lie on $\overline{BC}$ and $\overline{AC},$ respectively. If $\overline{AD}$ and $\overline{BE}$ intersect at $T$ so that $\frac{AT}{DT} = 3$ and $\frac{BT}{ET} = 4,$ what is $\frac{CD}{BD}?$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{3}{10}$

$\dfrac{4}{11}$

$\dfrac{5}{12}$

答案：D

知识点：相似平行线比与比例

难度评级：1840

小提示：

过 $D$ 作平行于 $\overline{BE}$ 的直线，交 $\overline{AC}$ 于 $F$ 。

Draw the line through $D$ parallel to $\overline{BE}$ meeting $\overline{AC}$ at a point $F$

大提示：

两组相似三角形给出 $\frac{CD}{BC}$ ，再转化为 $\frac{CD}{BD}$ 。

Two pairs of similar triangles give $\frac{CD}{BC},$ which converts to $\frac{CD}{BD}$

解答：

设 $F$ 在 $\overline{AC}$ 上，且 $DF \parallel BE$ 。令 $ET = x$ ，则 $BT = 4x$ 。

由 $\triangle ATE \sim \triangle ADF$ ，得 $\dfrac{DF}{x} = \dfrac{AD}{AT} = \dfrac{4}{3}$ ，所以 $DF = \dfrac{4x}{3}$ 。

由 $\triangle BEC \sim \triangle DFC$ ，得 $\dfrac{CD}{BC} = \dfrac{DF}{BE} = \dfrac{\frac{4x}{3}}{5x} = \dfrac{4}{15}$ 。

因此 $\begin{aligned} \dfrac{CD}{BD} &= \dfrac{\frac{CD}{BC}}{1 - \frac{CD}{BC}} \\ &= \dfrac{\frac{4}{15}}{\frac{11}{15}} = \dfrac{4}{11} \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 D。

Let $F$ be on $\overline{AC}$ with $DF \parallel BE,$ and write $ET = x,$ $BT = 4x.$

From $\triangle ATE \sim \triangle ADF,$ $\dfrac{DF}{x} = \dfrac{AD}{AT} = \dfrac{4}{3},$ so $DF = \dfrac{4x}{3}.$

From $\triangle BEC \sim \triangle DFC,$ $\dfrac{CD}{BC} = \dfrac{DF}{BE} = \dfrac{\frac{4x}{3}}{5x} = \dfrac{4}{15}.$

Therefore $\begin{aligned} \dfrac{CD}{BD} &= \dfrac{\frac{CD}{BC}}{1 - \frac{CD}{BC}} \\ &= \dfrac{\frac{4}{15}}{\frac{11}{15}} = \dfrac{4}{11}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

2004 AMC 10B 第 20 题

答案：D

难度评级：1840

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题