Question

在长方形 $ABCD$ 中， $AB=5$ 、 $BC=3$ 。点 $F$ 和 $G$ 在 $\overline{CD}$ 上，且 $DF=1$ 、 $GC=2$ 。直线 $AF$ 和 $BG$ 交于 $E$ 。求 $\triangle AEB$ 的面积。

In rectangle $ABCD,$ $AB=5$ and $BC=3.$ Points $F$ and $G$ are on $\overline{CD}$ so that $DF=1$ and $GC=2.$ Lines $AF$ and $BG$ intersect at $E.$ Find the area of $\triangle AEB.$

$10$

$\dfrac{21}{2}$

$12$

$\dfrac{25}{2}$

$15$

答案：D

知识点：相似三角形面积矩形

难度评级：1480

小提示：

计算 $FG = CD - DF - GC$ 。

Compute $FG = CD - DF - GC$

大提示：

由 $\triangle FEG \sim \triangle AEB$ ，用比例 $\tfrac{FG}{AB}$ 求点 $E$ 的高度。

$\triangle FEG \sim \triangle AEB;$ use the ratio $\tfrac{FG}{AB}$ to locate the height of $E$

解答：

先计算 $FG = CD - DF - GC$ $= 5 - 1 - 2$ $= 2$ 。设 $E$ 到直线 $CD$ 的距离为 $h$ 。由于 $\triangle FEG \sim \triangle AEB$ ，相似比为 $\dfrac{FG}{AB}=\dfrac25$ ，所以 $\dfrac{h}{h+3}=\dfrac25\text{，}$ 解得 $h=2$ 。

$\triangle AEB$ 从 $E$ 到 $AB$ 的高为 $h+3=5$ ，所以面积为 $\dfrac12 \cdot 5 \cdot 5 = \dfrac{25}{2}$ 。

所以正确答案是 D。

Here $FG = CD - DF - GC$ $= 5 - 1 - 2$ $= 2.$ Let $h$ be the distance from $E$ down to line $CD.$ Since $\triangle FEG \sim \triangle AEB$ with ratio $\dfrac{FG}{AB}=\dfrac25,$ we have $\dfrac{h}{h+3}=\dfrac25,$ so $h=2.$

The height of $\triangle AEB$ from $E$ to $AB$ is $h+3=5,$ giving area $\dfrac12 \cdot 5 \cdot 5 = \dfrac{25}{2}.$

Thus, the correct answer is D.

2003 AMC 10B 第 20 题

答案：D

难度评级：1480

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题