Question

数 $21!$ $=51{,}090{,}942{,}171{,}709{,}440{,}000$ 有超过 $60{,}000$ 个正整数因子。随机选择其中一个因子。它是奇数的概率是多少？

The number $21!$ $=51{,}090{,}942{,}171{,}709{,}440{,}000$ has over $60{,}000$ positive integer divisors. One of them is chosen at random. What is the probability that it is odd?

$\dfrac{1}{21}$

$\dfrac{1}{19}$

$\dfrac{1}{18}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{11}{21}$

答案：B

知识点：因数个数质因数分解基本概率

难度评级：1540

小提示：

计算 $21!$ 中因子 $2$ 的指数。

Count the exponent of $2$ in $21!$

大提示：

对每个奇数部分，只有一种 $2$ 的指数会得到奇因子。

For each odd part of a divisor, only one exponent of $2$ gives an odd divisor

解答：

$21!$ 中 $2$ 的指数为 $\begin{aligned} &\left\lfloor\dfrac{21}{2}\right\rfloor+ \left\lfloor\dfrac{21}{4}\right\rfloor\\ &\quad{}+\left\lfloor\dfrac{21}{8}\right\rfloor+ \left\lfloor\dfrac{21}{16}\right\rfloor\\ &=10+5+2+1=18 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $21!=2^{18}d$ ，其中 $d$ 是某个奇整数。

对 $d$ 的每个因子 $x$ ， $21!$ 中奇数部分为 $x$ 的因子恰好是 $x,2x,\ldots,2^{18}x$ 。这 $19$ 个因子中只有一个是奇数，所以所求概率为 $\dfrac1{19}$ 。

所以正确答案是 B。

The exponent of $2$ in $21!$ is $\begin{aligned} &\left\lfloor\dfrac{21}{2}\right\rfloor+ \left\lfloor\dfrac{21}{4}\right\rfloor\\ &\quad{}+\left\lfloor\dfrac{21}{8}\right\rfloor+ \left\lfloor\dfrac{21}{16}\right\rfloor\\ &=10+5+2+1=18. \end{aligned}$ Thus $21!=2^{18}d$ for some odd integer $d.$

For every divisor $x$ of $d,$ the divisors of $21!$ with odd part $x$ are $x,2x,\ldots,2^{18}x.$ Exactly one of these $19$ divisors is odd, so the probability is $\dfrac1{19}.$

Thus, the correct answer is B .

2017 AMC 10B 第 20 题

答案：B

难度评级：1540

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题