Question

在 $\triangle ABC$ 中， $AB=6$ ， $AC=8$ ， $BC=10$ ，且 $D$ 是 $\overline{BC}$ 的中点。求 $\triangle ADB$ 与 $\triangle ADC$ 内切圆半径之和。

In $\triangle ABC,$ $AB=6,$ $AC=8,$ $BC=10,$ and $D$ is the midpoint of $\overline{BC}.$ What is the sum of the radii of the circles inscribed in $\triangle ADB$ and $\triangle ADC?$

$\sqrt{5}$

$\dfrac{11}{4}$

$2\sqrt{2}$

$\dfrac{17}{6}$

$3$

答案：D

知识点：内切圆、内心与内切圆半径直角三角形三角形面积

难度评级：1720

小提示：

先识别 $6,8,10$ 三角形是直角三角形。

First recognize the $6,8,10$ triangle as right

大提示：

对两个小三角形使用面积等于内切圆半径乘以半周长。

Use area equals inradius times semiperimeter for the two smaller triangles

解答：

三角形 $ABC$ 是在 $A$ 处为直角的直角三角形。由于 $D$ 是斜边中点，所以它是这个三角形的外心。

因此 $AD = BD = DC = 5\text{。}$ 同时， $ABC$ 的面积为 $\dfrac{6\cdot 8}2 = 24\text{。}$

底边 $BD$ 和 $DC$ 相等，两个三角形从 $A$ 作出的高也相同。因此， $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 的面积都为 $12$ 。

对每个三角形，都有 $A = rs$ ，其中 $A$ 是面积， $r$ 是内切圆半径， $s$ 是半周长。等价地， $12=\dfrac12rP$ ，其中 $P$ 是周长，所以 $r=\dfrac{24}{P}$ 。对 $\triangle ABD$ ，内切圆半径为 $\dfrac{24}{5+5+6}=\dfrac32$ 。对 $\triangle ACD$ ，内切圆半径为 $\dfrac{24}{5+5+8}=\dfrac43$ 。

两者之和为 $\dfrac 32 + \dfrac 43 = \dfrac{17}6$ 。

所以正确答案是 D。

The triangle $ABC$ is a right triangle with a right angle at $A.$ This makes $D$ the circumcenter of the triangle since it is the midpoint of the hypotenuse.

Therefore, $AD = BD = DC = 5.$ Also, the area of $ABC$ is $\dfrac{6\cdot 8}2 = 24.$

The bases $BD$ and $DC$ are equal, and the two triangles share the same altitude from $A.$ Therefore, $\triangle ABD$ and $\triangle ACD$ each have area $12.$

Then, for each triangle, we have $A = rs$ where $A$ is the area, $r$ is the inradius, and $s$ is the semiperimeter. Equivalently, $12=\dfrac12rP,$ where $P$ is the perimeter, so $r=\dfrac{24}{P}.$ For $\triangle ABD,$ the inradius is $\dfrac{24}{5+5+6}=\dfrac32.$ For $\triangle ACD,$ it is $\dfrac{24}{5+5+8}=\dfrac43.$

Their sum is $\dfrac 32 + \dfrac 43 = \dfrac{17}6 .$

Thus, the correct answer is D .

2017 AMC 10B 第 21 题

答案：D

难度评级：1720

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题