Question

空间中有一个以 $O$ 为球心、半径为 $6$ 的球，以及一个边长为 $15$ ， $15$ 和 $24$ 的三角形。三角形的每一条边都与球相切。求 $O$ 到该三角形所在平面的距离。

A sphere with center $O$ has radius $6.$ A triangle with sides of length $15,$ $15,$ and $24$ is situated in space so that each of its sides is tangent to the sphere. What is the distance between $O$ and the plane determined by the triangle?

$2\sqrt{3}$

$4$

$3\sqrt{2}$

$2\sqrt{5}$

$5$

答案：D

知识点：球内切圆、内心与内切圆半径勾股定理筝形

难度评级：1970

小提示：

取垂直于三角形平面的截面。

Take a cross-section perpendicular to the triangle plane

大提示：

三角形的内切圆半径控制球到边的切线距离。

The inradius of the triangle controls the tangent distance to the sphere

解答：

长为 $24$ 的边上的高为 $\sqrt{15^2-12^2}=9\text{，}$ 所以三角形的面积为 $\frac12\cdot24\cdot9=108$ ，半周长为 $27$ 。因此它的内切圆半径为 $r=\frac{108}{27}=4\text{。}$

设 $P$ 是 $O$ 在三角形所在平面上的正投影，并记 $d=OP$ 。因为三条边所在的直线都与球相切，所以 $P$ 就是三角形的内心，它到每条边的垂直距离都是 $4$ 。又因为 $O$ 到每条边所在直线的距离都等于球的半径 $6$ ，所以由勾股定理得 $d^2+4^2=6^2\text{。}$ 因此 $d=2\sqrt5$ 。

所以正确答案是 D。

The altitude to the side of length $24$ is $\sqrt{15^2-12^2}=9,$ so the triangle has area $\frac12\cdot24\cdot9=108$ and semiperimeter $27$ . Its inradius is therefore $r=\frac{108}{27}=4.$

Let $P$ be the perpendicular projection of $O$ onto the triangle’s plane, and let $d=OP$ . Because all three side-lines are tangent to the sphere, $P$ is the incenter and its perpendicular distance to each side is $4$ . The distance from $O$ to each side-line is the sphere’s radius, $6$ , so the Pythagorean theorem gives $d^2+4^2=6^2.$ Hence $d=2\sqrt5.$

Thus, D is the correct answer.

2019 AMC 10A 第 21 题

答案：D

难度评级：1970

小提示：

大提示：

解答：

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