Question

$20$ 个球各自独立且随机地投入 $5$ 个箱子之一。设 $p$ 为某个箱子最终有 $3$ 个球、另一个箱子有 $5$ 个球、其余三个箱子各有 $4$ 个球的概率。设 $q$ 为每个箱子最终都有 $4$ 个球的概率。求 $\dfrac{p}{q}$ ？

Each of $20$ balls is tossed independently and at random into one of the $5$ bins. Let $p$ be the probability that some bin ends up with $3$ balls, another with $5$ balls, and the other three with $4$ balls each. Let $q$ be the probability that every bin ends up with $4$ balls. What is $\dfrac{p}{q}?$

$1$

$4$

$8$

$12$

$16$

答案：E

知识点：组合基本概率

难度评级：1540

小提示：

可以把球和箱子都看作可区分。

Balls and bins can be treated as distinguishable

大提示：

在比值 $\frac{p}{q}$ 中，大部分阶乘因子会抵消。

Most factorial factors cancel in the ratio $\frac{p}{q}$

解答：

把球和箱子都看作可区分，则把有标号的球投入有标号的箱子的 $5^{20}$ 种方法等可能。对于 $q$ ，符合条件的投放方法数为 $\frac{20!}{(4!)^5}\text{。}$

对于 $p$ ，先用 $5\cdot4$ 种方法依次选出装 $3$ 个球的箱子和装 $5$ 个球的箱子。符合条件的投放方法数为 $5\cdot4\cdot\frac{20!}{3!5!(4!)^3}\text{。}$

两种概率的共同分母可以约去，所以 $\frac pq=20\cdot\frac{(4!)^2}{3!5!}=20\cdot\frac45=16\text{。}$

所以正确答案是 E。

All $5^{20}$ assignments of the distinguishable balls to the labeled bins are equally likely. For $q,$ the number of assignments is $\frac{20!}{(4!)^5}.$

For $p,$ choose the bin with $3$ balls and the bin with $5$ balls in $5\cdot4$ ways. The number of assignments is then $5\cdot4\cdot\frac{20!}{3!5!(4!)^3}.$

The common probability denominator cancels, so $\frac pq=20\cdot\frac{(4!)^2}{3!5!}=20\cdot\frac45=16.$

Thus, E is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall 第 21 题

答案：E

难度评级：1540

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题