Question

圆心为 $P$ ， $Q$ 和 $R$ 、半径分别为 $1$ ， $2$ 和 $3$ 的三个圆位于直线 $l$ 的同侧，并分别在 $P'$ ， $Q'$ 和 $R'$ 处与 $l$ 相切，其中 $Q'$ 在 $P'$ 和 $R'$ 之间。圆心为 $Q$ 的圆与另外两个圆都外切。求 $\triangle PQR$ 的面积。

Circles with centers $P,$ $Q$ and $R,$ having radii $1,$ $2$ and $3,$ respectively, lie on the same side of line $l$ and are tangent to $l$ at $P',$ $Q'$ and $R',$ respectively, with $Q'$ between $P'$ and $R'.$ The circle with center $Q$ is externally tangent to each of the other two circles. What is the area of $\triangle PQR?$

$0$

$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$

$1$

$\sqrt{6}-\sqrt{2}$

$\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

答案：D

知识点：相切圆勾股定理坐标几何

难度评级：1970

小提示：

使用切点之间的水平距离。

Use horizontal distances between tangent points

大提示：

把这些水平距离代入坐标面积公式。

Use those horizontal distances in a coordinate-area formula

解答：

把这条公切线取作 $x$ 轴，并令 $P=(0,1)$ 。因为 $PQ=1+2=3$ ，而两个圆心的高度相差 $1$ ，所以 $P$ 到 $Q$ 的水平距离为 $\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt2\text{。}$ 同理， $QR=2+3=5$ ，这两个圆心的高度也相差 $1$ ，因此它们的水平距离为 $2\sqrt6$ 。

于是可以取 $\begin{aligned} P&=(0,1),\qquad Q=(2\sqrt2,2), \\ R&=(2\sqrt2+2\sqrt6,3) \end{aligned}\text{。}$ 再由坐标面积公式得到 $\begin{aligned} [PQR] &=\frac12\left|4\sqrt2-(2\sqrt2+2\sqrt6)\right| \\ &=\sqrt6-\sqrt2 \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 D。

Put the tangent line on the $x$ -axis and take $P=(0,1).$ Because $PQ=1+2=3$ and the centers differ in height by $1,$ the horizontal distance from $P$ to $Q$ is $\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt2.$ Similarly, $QR=2+3=5$ and its centers also differ in height by $1,$ so their horizontal distance is $2\sqrt6.$

Thus we may use $\begin{aligned} P&=(0,1),\qquad Q=(2\sqrt2,2), \\ R&=(2\sqrt2+2\sqrt6,3). \end{aligned}$ The coordinate-area formula gives $\begin{aligned} [PQR] &=\frac12\left|4\sqrt2-(2\sqrt2+2\sqrt6)\right| \\ &=\sqrt6-\sqrt2. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D .

2016 AMC 10A 第 21 题

答案：D

难度评级：1970

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解答：

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