Question

对多少个正整数 $n$ ， $1 + 2 + \cdots + n$ 能整除 $6n$ ？

For how many positive integers $n$ does $1 + 2 + \cdots + n$ evenly divide $6n?$

$3$

$5$

$7$

$9$

$11$

答案：B

知识点：三角形数整除性因数

难度评级：1790

小提示：

使用 $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ 。

Use $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$

大提示：

商为 $\dfrac{6n}{\frac{n(n+1)}{2}} = \dfrac{12}{n+1}$ ；数出哪些 $n$ 使 $n + 1$ 整除 $12$ 。

Then $\dfrac{6n}{\frac{n(n+1)}{2}} = \dfrac{12}{n+1};$ count the $n$ for which $n + 1$ divides $12$

解答：

由 $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ 可知，商为 $\dfrac{6n}{\frac{n(n+1)}{2}} = \dfrac{12}{n+1}$ 。它是整数当且仅当 $n + 1$ 整除 $12$ 。 $12$ 的因数中不小于 $2$ 的有 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $6$ 、 $12$ ，对应 $n = 1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $5$ 、 $11$ ，共五个值。

所以正确答案是 B。

Since $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2},$ the quotient is $\dfrac{6n}{\frac{n(n+1)}{2}} = \dfrac{12}{n+1},$ which is an integer exactly when $n + 1$ divides $12.$ The divisors of $12$ that are at least $2$ are $2,$ $3,$ $4,$ $6,$ $12,$ giving $n = 1,$ $2,$ $3,$ $5,$ $11$ — five values.

Thus, the correct answer is B.

2005 AMC 10A 第 21 题

答案：B

难度评级：1790

小提示：

大提示：

解答：

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