Question

方程 $x^2+y^2=|x|+|y|$ 的图形围成区域的面积是多少？

What is the area of the region enclosed by the graph of the equation $x^2+y^2=|x|+|y|?$

$\ \pi+\sqrt{2}$

$\ \pi+2$

$\ \pi+2\sqrt{2}$

$\ 2\pi+\sqrt{2}$

$\ 2\pi+2\sqrt{2}$

答案：B

知识点：绝对值圆面积分割

难度评级：1860

小提示：

先在第一象限求面积，再乘以 $4$ 。

Work in one quadrant and multiply by $4$

大提示：

第一象限的区域是一个三角形加一个半圆。

The first-quadrant region is a triangle plus a semicircle

解答：

这个方程在四个象限中都是对称的。在第一象限里它化为 $x^2+y^2=x+y\text{，}$ 即 $(x-\tfrac12)^2+(y-\tfrac12)^2=\tfrac12\text{。}$

在第一象限中，围成的区域是直线 $x+y=1$ 下方的三角形，面积为 $\frac12$ ，再加上一个半径为 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 的半圆，面积为 $\frac\pi4$ 。

乘以 $4$ ，总面积为 $4\left(\frac12+\frac\pi4\right)=2+\pi\text{。}$

所以正确答案是 B。

The equation is symmetric in all four quadrants. In the first quadrant it becomes $x^2+y^2=x+y,$ or $(x-\tfrac12)^2+(y-\tfrac12)^2=\tfrac12.$

In the first quadrant, the enclosed region is the triangle under $x+y=1$ , with area $\frac12$ , plus a semicircle of radius $\sqrt{\frac{1}{2}}$ , with area $\frac\pi4$ .

Multiplying by $4$ , the total area is $4\left(\frac12+\frac\pi4\right)=2+\pi.$

Thus, the correct answer is B.

2016 AMC 10B 第 21 题

答案：B

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题