Question

四面体 $ABCD$ 满足 $AB=5$ ， $AC=3$ ， $BC=4$ ， $BD=4$ ， $AD=3$ ，且 $CD=\tfrac{12}5\sqrt2$ 。求该四面体的体积。

Tetrahedron $ABCD$ has $AB=5,$ $AC=3,$ $BC=4,$ $BD=4,$ $AD=3,$ and $CD=\tfrac{12}5\sqrt2.$ What is the volume of the tetrahedron?

$3\sqrt2$

$2\sqrt5$

$\dfrac{24}5$

$3\sqrt{3}$

$\dfrac{24}5\sqrt2$

答案：C

知识点：立体几何体积直角三角形

难度评级：2010

小提示：

把两个 $3$ - $4$ - $5$ 三角形放在共同底边 $AB$ 上。

Put the two $3$ - $4$ - $5$ triangles on a common base $AB$

大提示：

$CD=(\frac{12}{5})\sqrt2$ 使两条高互相垂直。

$CD=(\frac{12}{5})\sqrt2$ makes the two altitudes perpendicular

解答：

我们断言三角形 $ABC$ 和 $ABD$ 所在平面互相垂直。

分别从 $C$ 和 $D$ 向 $AB$ 作垂线，即可证明这一点。

因为 $AC = AD$ 且 $BC = BD$ ，这两条高的垂足重合于点 $P$ 。

于是 $CP = DP = \dfrac{3 \cdot 4}{5} = \dfrac{12}{5}\text{。}$ 又有 $CD = CP\sqrt{2}$ ，所以 $\triangle CPD$ 是等腰直角三角形，且 $CP\perp DP$ 。

因为 $CP\perp AB$ 且 $CP\perp DP$ ，所以线段 $CP$ 垂直于平面 $ABD$ 。因此四面体的体积为 $\dfrac{1}{3}[ABD] \cdot CP = \dfrac{6}{3} \cdot \dfrac{12}{5} = \dfrac{24}{5}\text{。}$

所以正确答案是 C。

We claim that the planes $ABC$ and $ABD$ are perpendicular to each other.

We can show this by dropping the perpendiculars from $C$ and $D$ to $AB$ .

Since $AC = AD$ and $BC = BD,$ we have that the feet of these altitudes will coincide at point $P.$

Then we have that $CP = DP = \dfrac{3 \cdot 4}{5} = \dfrac{12}{5}.$ We also have $CD = CP\sqrt{2},$ so $\triangle CPD$ is an isosceles right triangle and $CP\perp DP.$

Since $CP\perp AB$ and $CP\perp DP$ , the segment $CP$ is perpendicular to the plane $ABD$ . Finally, the volume of the tetrahedron is $\dfrac{1}{3}[ABD] \cdot CP = \dfrac{6}{3} \cdot \dfrac{12}{5} = \dfrac{24}{5}.$

Thus, C is the correct answer.

2015 AMC 10A 第 21 题

答案：C

难度评级：2010

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题