Question

存在一个首项系数为 $1$ 、次数最小且唯一的多项式 $P(x)$ ，满足以下所有条件：

$1$ 是 $P(x) - 1$ 的一个根， $2$ 是 $P(x - 2)$ 的一个根， $3$ 是 $P(3x)$ 的一个根，且 $4$ 是 $4P(x)$ 的一个根。

除一个根外， $P(x)$ 的所有根都是整数。若唯一的非整数根可写成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质正整数，求 $m + n$ 。

There is a unique polynomial $P(x)$ of least degree with leading coefficient $1$ satisfying all of the following:

$1$ is a root of $P(x) - 1,$ $2$ is a root of $P(x - 2),$ $3$ is a root of $P(3x),$ and $4$ is a root of $4P(x).$

All the roots of $P(x)$ except one are integers. If the one non-integer root can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, what is $m + n?$

$41$

$43$

$45$

$47$

$49$

答案：D

知识点：多项式换元法

难度评级：2120

小提示：

把每个条件翻译成函数值： $P(1) = 1$ 、 $P(0) = 0$ 、 $P(9) = 0$ 、 $P(4) = 0$ 。

Translate each condition into a value: $P(1) = 1,$ $P(0) = 0,$ $P(9) = 0,$ $P(4) = 0$

大提示：

整数根 $0, 4, 9$ 迫使 $P(x) = x(x - 4)(x - 9)(x - c)$ ；用 $P(1) = 1$ 求 $c$ 。

The integer roots $0, 4, 9$ force $P(x) = x(x - 4)(x - 9)(x - c);$ use $P(1) = 1$ to find $c$

解答：

把每个条件翻译成函数值： $P(1) = 1$ 、 $P(0) = 0$ 、 $P(9) = 0$ 、 $P(4) = 0$ 。所以 $0, 4, 9$ 是根。三次多项式可以吗？带这些根的首一三次多项式有 $P(1) = (1)(-3)(-8) = 24 \ne 1$ ，所以不行。次数最小的首一多项式是 $4$ 次： $P(x) = x(x - 4)(x - 9)(x - c)$ 。现在 $P(1) = (1)(-3)(-8)(1 - c)$ $= 24(1 - c)$ $= 1$ ，所以 $1 - c = \frac{1}{24}$ ，且 $c = \frac{23}{24}$ 。这就是唯一的非整数根，因此 $m + n = 23 + 24 = 47$ 。因此，正确答案是 D。

Translate each condition into a value: $P(1) = 1,$ $P(0) = 0,$ $P(9) = 0,$ and $P(4) = 0.$ So $0, 4, 9$ are roots. Could a cubic do it? A monic cubic with those roots has $P(1) = (1)(-3)(-8) = 24 \ne 1,$ so no. The least-degree monic polynomial is degree $4:$ $P(x) = x(x - 4)(x - 9)(x - c).$ Now $P(1) = (1)(-3)(-8)(1 - c)$ $= 24(1 - c)$ $= 1,$ so $1 - c = \frac{1}{24}$ and $c = \frac{23}{24}.$ That’s the lone non-integer root, so $m + n = 23 + 24 = 47.$ Thus, D is the correct answer.

2023 AMC 10A 第 21 题

答案：D

难度评级：2120

小提示：

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解答：

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