Question

设数 $a$ 满足方程 $4 = a + a^{-1}$ 。求 $a^4 + a^{-4}$ 的值。

Suppose that the number $a$ satisfies the equation $4 = a + a^{-1}.$ What is the value of $a^4 + a^{-4}?$

$164$

$172$

$192$

$194$

$212$

将 $a + a^{-1}$ 平方会得到 $a^2 + 2 + a^{-2}$ 。

Squaring $a + a^{-1}$ gives $a^2 + 2 + a^{-2}$

再将 $a^2 + a^{-2}$ 平方，并减去中间项 $2$ 。

Square $a^2 + a^{-2}$ and subtract the middle term $2$

将 $a + a^{-1} = 4$ 平方，得到 $a^2 + 2 + a^{-2} = 16$ ，所以 $a^2 + a^{-2} = 14$ 。

再平方得到 $a^4 + 2 + a^{-4} = 196$ ，所以 $a^4 + a^{-4} = 194$ 。

所以正确答案是 D。

Squaring $a + a^{-1} = 4$ gives $a^2 + 2 + a^{-2} = 16,$ so $a^2 + a^{-2} = 14.$

Squaring again gives $a^4 + 2 + a^{-4} = 196,$ so $a^4 + a^{-4} = 194.$

Thus, the correct answer is D.