Question

梯形 $ABCD$ 的底边为 $AB$ 和 $CD$ ，对角线交于 $K$ 。已知 $AB = 9$ 、 $DC = 12$ ，且 $\triangle AKD$ 的面积为 $24$ 。梯形 $ABCD$ 的面积是多少？

Trapezoid $ABCD$ has bases $AB$ and $CD$ and diagonals intersecting at $K.$ Suppose that $AB = 9,$ $DC = 12,$ and the area of $\triangle AKD$ is $24.$ What is the area of trapezoid $ABCD?$

$92$

$94$

$96$

$98$

$100$

答案：D

知识点：梯形相似面积比

难度评级：1710

小提示：

三角形 $AKB$ 和 $CKD$ 相似，相似比为 $9 : 12$ 。

Triangles $AKB$ and $CKD$ are similar with ratio $9 : 12$

大提示：

$\triangle AKD$ 和 $\triangle BKC$ 面积相等；再由 $[AKD] = 24$ 按比例求其余三角形的面积。

$\triangle AKD$ and $\triangle BKC$ have equal areas; scale the others from $[AKD] = 24$

解答：

三角形 $AKB$ 和 $CKD$ 相似，比例为 $\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$ 。

因为 $\triangle AKD$ 和 $\triangle KCD$ 的底边 $AK$ 与 $KC$ 在同一直线上，且从 $D$ 出发的高相同，所以 $\dfrac{[KCD]}{[AKD]} = \dfrac{KC}{AK} = \dfrac{4}{3}$ ，于是 $[KCD] = 32$ 。同理 $[AKB] = 18$ 。

另外 $[BKC] = [AKD] = 24$ 。总面积为 $24 + 32 + 18 + 24 = 98$ 。

所以正确答案是 D。

Triangles $AKB$ and $CKD$ are similar with ratio $\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}.$

Since $\triangle AKD$ and $\triangle KCD$ have bases $AK$ and $KC$ on the same line and share the same altitude from $D,$ $\dfrac{[KCD]}{[AKD]} = \dfrac{KC}{AK} = \dfrac{4}{3},$ so $[KCD] = 32.$ Similarly $[AKB] = 18.$

Also $[BKC] = [AKD] = 24.$ The total is $24 + 32 + 18 + 24 = 98.$

Thus, the correct answer is D.

2008 AMC 10A 第 20 题

答案：D

难度评级：1710

小提示：

大提示：

解答：

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