Question

设 $S$ 为 $\{1, 2, 3, \ldots, 2024\}$ 的一个子集，满足以下两个条件：

• 若 $x$ 和 $y$ 是 $S$ 中不同元素，则 $|x - y| \gt 2$ 。

• 若 $x$ 和 $y$ 是 $S$ 中不同的奇数元素，则 $|x - y| \gt 6$ 。

$S$ 最多可能有多少个元素？

Let $S$ be a subset of $\{1, 2, 3, \ldots, 2024\}$ such that the following two conditions hold:

• If $x$ and $y$ are distinct elements of $S,$ then $|x - y| \gt 2.$

• If $x$ and $y$ are distinct odd elements of $S,$ then $|x - y| \gt 6.$

What is the maximum possible number of elements in $S?$

$436$

$506$

$608$

$654$

$675$

答案：C

知识点：有限制的排列极端原理最优化

难度评级：2080

小提示：

任意两个选中数至少相差 $3$ ，任意两个选中奇数至少相差 $7$ 。

Any two chosen numbers differ by at least $3,$ and any two chosen odd numbers differ by at least $7$

大提示：

每个长度为 $10$ 的重复块最多可容纳 $3$ 个选中数且其中只有一个奇数；尝试余数 $1, 4, 8$ 。

A repeating block of $10$ can hold at most $3$ chosen numbers with only one odd; try residues $1, 4, 8$

解答：

两个条件说明选中数至少相差 $3$ ，而选中的奇数至少相差 $7$ 。在任意长度为 $10$ 的区块中，若取四个数，就需要三个至少为 $3$ 的间隔，因此它们只能占据位置 $r,r+3,r+6,r+9$ 。这样其中两个奇数会相差 $6$ ，与条件矛盾。所以每个完整的长度为 $10$ 的区块最多含 $3$ 个选中数，最后剩下的四个位置最多含 $2$ 个，上界为 $202\cdot3+2=608$ 。这个上界可以达到：取 $1,4,8,11,14,18,\ldots$ ，即模十余 $1,4,8\pmod{10}$ 的数，再加上 $2021,2024$ 。相邻选中数至少相差 $3$ ，而选中的奇数彼此相差 $10$ ，正确答案是 C。

The two conditions say chosen numbers are at least $3$ apart, and chosen odd numbers at least $7$ apart. Any four numbers in a block of $10$ would need three gaps of at least $3,$ so they would have to occupy positions $r,r+3,r+6,r+9.$ Two of the odd entries would then differ by $6,$ which is forbidden. Thus each full block of $10$ contains at most $3$ choices, and the last four positions contain at most $2.$ This gives the upper bound $202\cdot3+2=608.$ It is attained by the pattern $1,4,8,11,14,18,\ldots$ (residues $1,4,8\pmod{10}$ ), together with $2021,2024.$ Adjacent selected values differ by at least $3,$ and the selected odd values are $10$ apart. Therefore, the answer is C.

2024 AMC 10A 第 20 题

答案：C

难度评级：2080

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题