Question

四边形 $ABCD$ 满足 $\angle ABC = \angle ACD = 90^{\circ}$ 、 $AC=20$ 、 $CD=30$ 。对角线 $\overline{AC}$ 和 $\overline{BD}$ 交于点 $E$ ，且 $AE=5$ 。求四边形 $ABCD$ 的面积。

Quadrilateral $ABCD$ satisfies $\angle ABC = \angle ACD = 90^{\circ},$ $AC=20,$ and $CD=30.$ Diagonals $\overline{AC}$ and $\overline{BD}$ intersect at point $E,$ and $AE=5.$ What is the area of quadrilateral $ABCD?$

$330$

$340$

$350$

$360$

$370$

答案：D

知识点：坐标几何圆周角面积分割

难度评级：2150

小提示：

把 $AC$ 放在 $x$ 轴上，并使用已知点 $E$ 。

Put $AC$ on the $x$ -axis and use the known point $E$

大提示：

点 $B$ 既在直线 $DE$ 上，也在以 $AC$ 为直径的圆上。

Point $B$ lies both on line $DE$ and on the circle with diameter $AC$

视频讲解：

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文字解答：

取 $A=(0,0)$ ， $C=(20,0)$ 。因为 $\angle ACD=90^\circ$ 且 $CD=30$ ，可取 $D=(20,30)$ 。点 $E$ 的坐标是 $(5,0)$ ，所以直线 $BD$ 的方程为 $y=2(x-5)$ 。

因为 $\angle ABC=90^\circ$ ，点 $B$ 在以 $AC$ 为直径的圆上： $(x-10)^2+y^2=100$ 。与 $y=2(x-5)$ 联立，得 $x=2$ 或 $10$ 。凸四边形对应 $B=(2,-6)$ 。

于是 $[ACD]=\dfrac12\cdot20\cdot30=300$ ，且 $[ABC]=\dfrac12\cdot20\cdot6=60$ 。总面积为 $360$ 。正确答案是 D。

Place $A=(0,0)$ and $C=(20,0)$ . Since $\angle ACD=90^\circ$ and $CD=30$ , take $D=(20,30)$ . The point $E$ is $(5,0)$ , so line $BD$ has equation $y=2(x-5)$ .

Because $\angle ABC=90^\circ$ , point $B$ lies on the circle with diameter $AC$ : $(x-10)^2+y^2=100$ . Intersecting with $y=2(x-5)$ gives $x=2$ or $10$ . The convex quadrilateral uses $B=(2,-6)$ .

Then $[ACD]=\dfrac12\cdot20\cdot30=300$ , and $[ABC]=\dfrac12\cdot20\cdot6=60$ . The total area is $360$ . Thus, D is the correct answer.

2020 AMC 10A 第 20 题