Question

El área de la región limitada por la gráfica de $x^2+y^2 = 3|x-y| + 3|x+y|$ es $m+n\pi$ , donde $m$ y $n$ son enteros. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

The area of the region bounded by the graph of $x^2+y^2 = 3|x-y| + 3|x+y|$ is $m+n\pi,$ where $m$ and $n$ are integers. What is $m + n?$

$18$

$27$

$36$

$45$

$54$

Solución:

Considera los cuatro casos de signo para $x-y$ y $x+y$ . En un caso, por ejemplo, $|x-y|=x-y$ y $|x+y|=x+y$ , así que

$\begin{gathered} x^2+y^2=6x \\ \quad\Longrightarrow\quad (x-3)^2+y^2=9. \end{gathered}$

Los otros tres casos dan de manera similar circunferencias de radio $3$ centradas en $(0,3)$ , $(-3,0)$ y $(0,-3)$ . Los arcos relevantes forman la frontera mostrada por estas cuatro piezas de circunferencia congruentes.

La región consta de un cuadrado central de lado $6$ , junto con cuatro semicírculos de radio $3$ . El cuadrado aporta un área de $36$ , y los cuatro semicírculos tienen el área de dos circunferencias completas de radio $3$ , es decir, $18\pi$ .

Por lo tanto, el área es $36+18\pi$ , de modo que $m+n=36+18=54$ .

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Consider the four sign cases for $x-y$ and $x+y$ . In one case, for example, $|x-y|=x-y$ and $|x+y|=x+y$ , so

$\begin{gathered} x^2+y^2=6x \\ \quad\Longrightarrow\quad (x-3)^2+y^2=9. \end{gathered}$

The other three cases similarly give circles of radius $3$ centered at $(0,3)$ , $(-3,0)$ , and $(0,-3)$ . The relevant arcs form the boundary shown by these four congruent circle pieces.

The region consists of a central square of side length $6$ , together with four semicircles of radius $3$ . The square contributes area $36$ , and the four semicircles have the area of two full radius- $3$ circles, namely $18\pi$ .

Therefore the area is $36+18\pi$ , so $m+n=36+18=54$ .

Thus, E is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años