Question

Sea $N$ el entero positivo $7777\ldots777,$ un número de $313$ dígitos donde cada dígito es un $7.$ Sea $f(r)$ el dígito inicial de la raíz de $N$ de índice $r.$ ¿Cuánto vale $f(2) + f(3) + f(4)$ $+ f(5)+ f(6)$ ?

Let $N$ be the positive integer $7777\ldots777,$ a $313$ -digit number where each digit is a $7.$ Let $f(r)$ be the leading digit of the root of $N$ with index $r.$ What is $f(2) + f(3) + f(4)$ $+ f(5)+ f(6)?$

$8$

$9$

$11$

$22$

$29$

Solución:

El número $N$ satisface $7\cdot10^{312}\lt N\lt 8\cdot10^{312}.$ Multiplicar o dividir por una potencia de $10$ solo desplaza el punto decimal, así que solo necesitamos el factor inicial que queda después de extraer la mayor potencia conveniente de $10$ .

Para $r=2$ , $\sqrt N$ tiene factor inicial entre $\sqrt7$ y $\sqrt8$ , así que $f(2)=2$ .

Para $r=3$ , el factor inicial está entre $\sqrt[3]{7}$ y $\sqrt[3]{8}$ , así que $f(3)=1$ . Para $r=4$ , el factor inicial está entre $\sqrt[4]{7}$ y $\sqrt[4]{8}$ , así que $f(4)=1$ .

Para $r=5$ , como $312=5\cdot62+2$ , el factor inicial está entre $\sqrt[5]{700}$ y $\sqrt[5]{800}$ . Como $3^5\lt700\lt800\lt4^5$ , $f(5)=3$ .

Para $r=6$ , el factor inicial está entre $\sqrt[6]{7}$ y $\sqrt[6]{8}$ , así que $f(6)=1$ . La suma es $2+1+1+3+1=8$ .

Por lo tanto, la respuesta es A.

The number $N$ satisfies $7\cdot10^{312}\lt N\lt 8\cdot10^{312}.$ Multiplying or dividing by a power of $10$ only shifts the decimal point, so we only need the leading factor left after taking out the largest convenient power of $10$ .

For $r=2$ , $\sqrt N$ has leading factor between $\sqrt7$ and $\sqrt8$ , so $f(2)=2$ .

For $r=3$ , the leading factor is between $\sqrt[3]{7}$ and $\sqrt[3]{8}$ , so $f(3)=1$ . For $r=4$ , the leading factor is between $\sqrt[4]{7}$ and $\sqrt[4]{8}$ , so $f(4)=1$ .

For $r=5$ , since $312=5\cdot62+2$ , the leading factor is between $\sqrt[5]{700}$ and $\sqrt[5]{800}$ . Since $3^5\lt700\lt800\lt4^5$ , $f(5)=3$ .

For $r=6$ , the leading factor is between $\sqrt[6]{7}$ and $\sqrt[6]{8}$ , so $f(6)=1$ . The sum is $2+1+1+3+1=8$ .

Thus, the answer is A .

2021 AMC 10B Fall Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años