Question

El triángulo rectángulo isósceles $ABC$ tiene el ángulo recto en $C$ y área $12.5.$ Los rayos que trisecan $\angle ACB$ cortan a $AB$ en $D$ y $E.$ ¿Cuál es el área de $\triangle CDE$ ?

The isosceles right triangle $ABC$ has right angle at $C$ and area $12.5.$ The rays trisecting $\angle ACB$ intersect $AB$ at $D$ and $E.$ What is the area of $\triangle CDE?$

$\dfrac{5\sqrt{2}}{3}$

$\dfrac{50\sqrt{3}-75}{4}$

$\dfrac{15\sqrt{3}}{8}$

$\dfrac{50-25\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{25}{6}$

Solución:

Como $\triangle ABC$ es rectángulo isósceles con área $12.5$ , sus catetos tienen longitud $5$ . Los trisectores hacen $\angle ACD=30^\circ$ y $\angle BCE=30^\circ$ , por lo que $\triangle ACD$ y $\triangle BCE$ tienen áreas iguales.

Traza una perpendicular desde $D$ hacia $AC,$ con pie $F.$ Como $D$ está sobre $AB$ y $\angle A=45^\circ,$ $\triangle AFD$ es rectángulo isósceles. Sea $AF=DF=h.$ Entonces $CF=5-h,$ y el ángulo de $30^\circ$ da $\frac{CF}{DF}=\sqrt{3}.$ Por lo tanto, $5-h=h\sqrt{3}$ , así que $h=\frac{5}{1+\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}-5}{2}$ .

Por lo tanto, $\begin{aligned} &[ACD]=\frac12\cdot 5\cdot h \\ &=\frac{25\sqrt{3}-25}{4}. \end{aligned}$ Restando del $\triangle ABC$ los dos triángulos congruentes de las esquinas, $\begin{aligned} &[CDE]=\frac{25}{2} \\ &\quad {}-2\cdot\frac{25\sqrt{3}-25}{4} \\ &=\frac{50-25\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Since $\triangle ABC$ is isosceles right with area $12.5$ , its legs have length $5$ . The trisectors make $\angle ACD=30^\circ$ and $\angle BCE=30^\circ$ , so $\triangle ACD$ and $\triangle BCE$ have equal area.

Drop a perpendicular from $D$ to $AC,$ with foot $F.$ Since $D$ lies on $AB$ and $\angle A=45^\circ,$ $\triangle AFD$ is isosceles right. Let $AF=DF=h.$ Then $CF=5-h,$ and the $30^\circ$ angle gives $\frac{CF}{DF}=\sqrt{3}.$ Thus $5-h=h\sqrt{3}$ , so $h=\frac{5}{1+\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}-5}{2}$ .

Therefore $\begin{aligned} &[ACD]=\frac12\cdot 5\cdot h \\ &=\frac{25\sqrt{3}-25}{4}. \end{aligned}$ Subtracting the two congruent corner triangles from $\triangle ABC$ , $\begin{aligned} &[CDE]=\frac{25}{2} \\ &\quad {}-2\cdot\frac{25\sqrt{3}-25}{4} \\ &=\frac{50-25\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}$

Thus, D is the correct answer.

2015 AMC 10A Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años