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2015 AMC 10A Problema 19

Intenta el Problema 19 del 2015 AMC 10A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2015 AMC 10A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

19.

El triángulo rectángulo isósceles ABCABC tiene el ángulo recto en CC y área 12.5.12.5. Los rayos que trisecan ∠ACB\angle ACB cortan a ABAB en DD y E.E. ¿Cuál es el área de △CDE\triangle CDE?
The isosceles right triangle ABCABC has right angle at CC and area 12.5.12.5. The rays trisecting ∠ACB\angle ACB intersect ABAB at DD and E.E. What is the area of △CDE?\triangle CDE?
523\dfrac{5\sqrt{2}}{3}
503−754\dfrac{50\sqrt{3}-75}{4}
1538\dfrac{15\sqrt{3}}{8}
50−2532\dfrac{50-25\sqrt{3}}{2}
256\dfrac{25}{6}
Respuesta: D
Conceptos:triángulo rectángulo especialdescomposición de áreasárea del triángulo
Nivel de dificultad: 1880
Pista pequeña:
Usa el trisector de 30∘30^\circ y resta dos triángulos congruentes de las esquinas.
Use the 30∘30^\circ trisector and subtract two congruent corner triangles
Pista grande:
Si AC=BC=5AC=BC=5, halla la altura del △ACD\triangle ACD.
If AC=BC=5AC=BC=5, find the height of △ACD\triangle ACD
Solución:
Como △ABC\triangle ABC es rectángulo isósceles con área 12.512.5, sus catetos tienen longitud 55. Los trisectores hacen ∠ACD=30∘\angle ACD=30^\circ y ∠BCE=30∘\angle BCE=30^\circ, por lo que △ACD\triangle ACD y △BCE\triangle BCE tienen áreas iguales.
Traza una perpendicular desde DD hacia AC,AC, con pie F.F. Como DD está sobre ABAB y ∠A=45∘,\angle A=45^\circ, △AFD\triangle AFD es rectángulo isósceles. Sea AF=DF=h.AF=DF=h. Entonces CF=5−h,CF=5-h, y el ángulo de 30∘30^\circ da CFDF=3.\frac{CF}{DF}=\sqrt{3}. Por lo tanto, 5−h=h35-h=h\sqrt{3}, así que h=51+3=53−52h=\frac{5}{1+\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}-5}{2}.
Por lo tanto, [ACD]=12⋅5⋅h=253−254. \begin{aligned} &[ACD]=\frac12\cdot 5\cdot h \\ &=\frac{25\sqrt{3}-25}{4}. \end{aligned} Restando del △ABC\triangle ABC los dos triángulos congruentes de las esquinas, [CDE]=252−2⋅253−254=50−2532. \begin{aligned} &[CDE]=\frac{25}{2} \\ &\quad {}-2\cdot\frac{25\sqrt{3}-25}{4} \\ &=\frac{50-25\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Since △ABC\triangle ABC is isosceles right with area 12.512.5, its legs have length 55. The trisectors make ∠ACD=30∘\angle ACD=30^\circ and ∠BCE=30∘\angle BCE=30^\circ, so △ACD\triangle ACD and △BCE\triangle BCE have equal area.
Drop a perpendicular from DD to AC,AC, with foot F.F. Since DD lies on ABAB and ∠A=45∘,\angle A=45^\circ, △AFD\triangle AFD is isosceles right. Let AF=DF=h.AF=DF=h. Then CF=5−h,CF=5-h, and the 30∘30^\circ angle gives CFDF=3.\frac{CF}{DF}=\sqrt{3}. Thus 5−h=h35-h=h\sqrt{3}, so h=51+3=53−52h=\frac{5}{1+\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}-5}{2}.
Therefore [ACD]=12⋅5⋅h=253−254. \begin{aligned} &[ACD]=\frac12\cdot 5\cdot h \\ &=\frac{25\sqrt{3}-25}{4}. \end{aligned} Subtracting the two congruent corner triangles from △ABC\triangle ABC, [CDE]=252−2⋅253−254=50−2532. \begin{aligned} &[CDE]=\frac{25}{2} \\ &\quad {}-2\cdot\frac{25\sqrt{3}-25}{4} \\ &=\frac{50-25\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}
Thus, D is the correct answer.
Problema 18#18
Examen completo
Problema 20#20

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