Question

El círculo $A$ tiene radio $100.$ El círculo $B$ tiene radio entero $r \lt 100$ y permanece tangente internamente al círculo $A$ mientras rueda una vez alrededor de la circunferencia del círculo $A.$ Los dos círculos tienen los mismos puntos de tangencia al inicio y al final del viaje del círculo $B$ . ¿Cuántos valores posibles puede tener $r$ ?

Circle $A$ has radius $100.$ Circle $B$ has an integer radius $r \lt 100$ and remains internally tangent to circle $A$ as it rolls once around the circumference of circle $A.$ The two circles have the same points of tangency at the beginning and end of circle $B$ 's trip. How many possible values can $r$ have?

$4$

$8$

$9$

$50$

$90$

Solución:

Las circunferencias son $200\pi$ y $2\pi r,$ así que el punto de tangencia inicial regresa después de $\dfrac{200\pi}{2\pi r} = \dfrac{100}{r}$ vueltas.

Para que esto sea un entero mayor que $1,$ $r$ debe ser un divisor de $100$ menor que $100:$ a saber $1, 2, 4, 5, 10, 20, 25,$ y $50.$ Esos son $8$ valores.

Así, la respuesta correcta es B.

The circumferences are $200\pi$ and $2\pi r,$ so the initial point of tangency returns after $\dfrac{200\pi}{2\pi r} = \dfrac{100}{r}$ rolls.

For this to be an integer greater than $1,$ $r$ must be a divisor of $100$ less than $100:$ namely $1, 2, 4, 5, 10, 20, 25,$ and $50.$ That is $8$ values.

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 10A Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años