Question

Sea $S$ el conjunto de todos los divisores enteros positivos de $100,000.$ ¿Cuántos números son el producto de dos elementos distintos de $S$ ?

Let $S$ be the set of all positive integer divisors of $100,000.$ How many numbers are the product of two distinct elements of $S?$

$98$

$100$

$117$

$119$

$121$

Solución:

Primero, nota que $100,000=2^55^5$ .

Por lo tanto, cualquier elemento de $S$ debe tener la forma $2^a5^b$ con $0 \leq a,b \leq 5.$

Supón que tengo elementos distintos $x,y \in S$ con $x = 2^a5^b,$ $y=2^c5^d.$ Entonces, $xy = 2^{a+c}5^{b+d}.$ Así, $0 \leq a+c,b+d \leq 10.$ Esto significa que hay $(10+1)(10+1)=121$ divisores. Sin embargo, hay algunos divisores que solo pueden existir si $x=y,$ donde $(a,b)=(c,d).$

Si $a+c=0,$ entonces debe cumplirse $a=0,c=0$ .

Si $a+c=10,$ entonces debe cumplirse $a=5,c=5$ .

Con cualquier otro valor de $a+c,$ podemos tener $a \neq c.$

Una estructura similar vale para $b+d.$ Así, si $a+c,b+d \in \{0,10\},$ entonces $(a,b)=(c,d),$ lo que hace que $x=y.$

Esto significa que debemos eliminar $4$ opciones, quedando $121-4=117.$

Así, la respuesta es C.

First, note that $100,000=2^55^5.$

Therefore, any element of $S$ must be of the form $2^a5^b$ with $0 \leq a,b \leq 5.$

Suppose I have distinct $x,y \in S$ with $x = 2^a5^b,$ $y=2^c5^d.$ Then, $xy = 2^{a+c}5^{b+d}.$ Thus, $0 \leq a+c,b+d \leq 10.$ This means that there are $(10+1)(10+1)=121$ divisors. However, there are some divisors that can only exist if $x=y,$ where $(a,b)=(c,d).$

If $a+c=0,$ then $a=0,c=0$ must be true.

If $a+c=10,$ then $a=5,c=5$ must be true.

With any other value of $a+c,$ we can have $a \neq c.$

Similar structure holds for $b+d.$ Thus, if $a+c,b+d \in \{0,10\},$ then $(a,b)=(c,d),$ thus making $x=y.$

This means we have to eliminate $4$ choices, leaving $121-4=117.$

Thus, the answer is C .

2019 AMC 10B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años