Question

El hexágono equiangular $ABCDEF$ tiene longitudes de lado $AB=CD=EF=1$ y $BC=DE=FA=r.$ El área de $\triangle ACE$ es el $70\%$ del área del hexágono. ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $r$ ?

Equiangular hexagon $ABCDEF$ has side lengths $AB=CD=EF=1$ and $BC=DE=FA=r.$ The area of $\triangle ACE$ is $70\%$ of the area of the hexagon. What is the sum of all possible values of $r?$

$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{10}{3}$

$4$

$\dfrac{17}{4}$

$6$

Solución:

Nota que $\triangle ACE$ es equilátero. Usando la Ley de Cosenos en $\triangle ABC,$ obtenemos $AC^2=r^2+1^2$ $-2r\cos120^\circ$ $=r^2+r+1.$

El área de $\triangle ACE$ es entonces $\dfrac{\sqrt3}{4} (r^2 + r + 1).$

Los tres triángulos de las esquinas $\triangle ABC,$ $\triangle CDE,$ y $\triangle EFA$ tienen cada uno área $\frac12\cdot1\cdot r\cdot\sin120^\circ=\frac{r\sqrt3}{4}.$

Así, el hexágono tiene área $\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+r+1)$ $+3\cdot\dfrac{r\sqrt3}{4}$ $=\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+4r+1).$

La condición $[ACE]=70\%\cdot[ABCDEF]$ da $r^2+r+1=\dfrac{7}{10}(r^2+4r+1),$ así que $r^2-6r+1=0.$

Por las fórmulas de Vieta, la suma de los valores posibles de $r$ es $6.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Note that $\triangle ACE$ is equilateral. Using the Law of Cosines in $\triangle ABC,$ we get $AC^2=r^2+1^2$ $-2r\cos120^\circ$ $=r^2+r+1.$

The area of $\triangle ACE$ is then $\dfrac{\sqrt3}{4} (r^2 + r + 1).$

The three corner triangles $\triangle ABC,$ $\triangle CDE,$ and $\triangle EFA$ each have area $\frac12\cdot1\cdot r\cdot\sin120^\circ=\frac{r\sqrt3}{4}.$

Thus the hexagon has area $\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+r+1)$ $+3\cdot\dfrac{r\sqrt3}{4}$ $=\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+4r+1).$

The condition $[ACE]=70\%\cdot[ABCDEF]$ gives $r^2+r+1=\dfrac{7}{10}(r^2+4r+1),$ so $r^2-6r+1=0.$

By Vieta's formulas, the sum of the possible values of $r$ is $6.$

Thus, E is the correct answer.

2010 AMC 10A Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años