Question

Por un punto de la hipotenusa de un triángulo rectángulo se trazan rectas paralelas a los catetos del triángulo, de modo que el triángulo queda dividido en un cuadrado y dos triángulos rectángulos más pequeños. El área de uno de los dos triángulos rectángulos pequeños es $m$ veces el área del cuadrado. La razón entre el área del otro triángulo rectángulo pequeño y el área del cuadrado es

Through a point on the hypotenuse of a right triangle, lines are drawn parallel to the legs of the triangle so that the triangle is divided into a square and two smaller right triangles. The area of one of the two small right triangles is $m$ times the area of the square. The ratio of the area of the other small right triangle to the area of the square is

$\dfrac{1}{2m + 1}$

$m$

$1 - m$

$\dfrac{1}{4m}$

$\dfrac{1}{8m^2}$

Solución:

Sea el cuadrado de lado $1.$ Un triángulo pequeño tiene catetos $1$ y $r,$ con área $\tfrac12 r = m,$ de modo que $r = 2m.$

Los dos triángulos pequeños son semejantes, así que el otro tiene catetos $1$ y $\tfrac1r,$ con área $\tfrac12 \cdot \tfrac1r = \tfrac{1}{4m}.$

Como el cuadrado tiene área $1,$ la razón buscada es $\dfrac{1}{4m}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the square have side $1.$ One small triangle has legs $1$ and $r,$ with area $\tfrac12 r = m,$ so $r = 2m.$

The two small triangles are similar, so the other has legs $1$ and $\tfrac1r,$ with area $\tfrac12 \cdot \tfrac1r = \tfrac{1}{4m}.$

Since the square has area $1,$ the desired ratio is $\dfrac{1}{4m}.$

Thus, the correct answer is D.

2000 AMC 10 Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años