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2008 AMC 10B Problema 19

Intenta el Problema 19 del 2008 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2008 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

19.

Un tanque cilíndrico de radio 44 pies y altura 99 pies está acostado de lado. El tanque está lleno de agua hasta una profundidad de 22 pies. ¿Cuál es el volumen del agua, en pies cúbicos?
A cylindrical tank with radius 44 feet and height 99 feet is lying on its side. The tank is filled with water to a depth of 22 feet. What is the volume of the water, in cubic feet?
24π−36224\pi-36\sqrt{2}
24π−24324\pi-24\sqrt{3}
36π−36336\pi-36\sqrt{3}
36π−24236\pi-24\sqrt{2}
48π−36348\pi-36\sqrt{3}
Respuesta: E
Conceptos:cilindrosector circularvolumen
Nivel de dificultad: 1680
Pista pequeña:
La sección transversal del agua es un segmento circular cortado por una cuerda 22 pies por debajo del centro.
The water cross-section is a circular segment cut by a chord 22 feet below the center
Pista grande:
Su área es un sector de 120∘120^\circ menos un triángulo; multiplica por la longitud 99.
Its area is a 120∘120^\circ sector minus a triangle; multiply by the length 99
Solución:
La sección transversal sumergida es un segmento circular. La cuerda está 4−2=24-2=2 pies por debajo del centro, y cos⁡θ=24=12,\cos\theta=\tfrac{2}{4}=\tfrac12, así que el semiángulo es 60∘60^\circ y el ángulo central es 120∘.120^\circ.
El área del sector es 120360π(4)2=16π3,\tfrac{120}{360}\pi(4)^2=\tfrac{16\pi}{3}, y el triángulo formado por los dos radios tiene área 12(4)2sin⁡120∘=43.\tfrac12(4)^2\sin 120^\circ=4\sqrt3. El área del segmento es 16π3−43.\tfrac{16\pi}{3}-4\sqrt3.
Multiplicando por la longitud 99 se obtiene 9(16π3−43)=48π−363.9\left(\tfrac{16\pi}{3}-4\sqrt3\right)=48\pi-36\sqrt3.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The submerged cross-section is a circular segment. The chord is 4−2=24-2=2 feet below the center, and cos⁡θ=24=12,\cos\theta=\tfrac{2}{4}=\tfrac12, so the half-angle is 60∘60^\circ and the central angle is 120∘.120^\circ.
The sector area is 120360π(4)2=16π3,\tfrac{120}{360}\pi(4)^2=\tfrac{16\pi}{3}, and the triangle formed by the two radii has area 12(4)2sin⁡120∘=43.\tfrac12(4)^2\sin 120^\circ=4\sqrt3. The segment area is 16π3−43.\tfrac{16\pi}{3}-4\sqrt3.
Multiplying by the length 99 gives 9(16π3−43)=48π−363.9\left(\tfrac{16\pi}{3}-4\sqrt3\right)=48\pi-36\sqrt3.
Thus, the correct answer is E.
Problema 18#18
Examen completo
Problema 20#20

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