Question

Un tanque cilíndrico de radio $4$ pies y altura $9$ pies está acostado de lado. El tanque está lleno de agua hasta una profundidad de $2$ pies. ¿Cuál es el volumen del agua, en pies cúbicos?

A cylindrical tank with radius $4$ feet and height $9$ feet is lying on its side. The tank is filled with water to a depth of $2$ feet. What is the volume of the water, in cubic feet?

$24\pi-36\sqrt{2}$

$24\pi-24\sqrt{3}$

$36\pi-36\sqrt{3}$

$36\pi-24\sqrt{2}$

$48\pi-36\sqrt{3}$

Solución:

La sección transversal sumergida es un segmento circular. La cuerda está $4-2=2$ pies por debajo del centro, y $\cos\theta=\tfrac{2}{4}=\tfrac12,$ así que el semiángulo es $60^\circ$ y el ángulo central es $120^\circ.$

El área del sector es $\tfrac{120}{360}\pi(4)^2=\tfrac{16\pi}{3},$ y el triángulo formado por los dos radios tiene área $\tfrac12(4)^2\sin 120^\circ=4\sqrt3.$ El área del segmento es $\tfrac{16\pi}{3}-4\sqrt3.$

Multiplicando por la longitud $9$ se obtiene $9\left(\tfrac{16\pi}{3}-4\sqrt3\right)=48\pi-36\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The submerged cross-section is a circular segment. The chord is $4-2=2$ feet below the center, and $\cos\theta=\tfrac{2}{4}=\tfrac12,$ so the half-angle is $60^\circ$ and the central angle is $120^\circ.$

The sector area is $\tfrac{120}{360}\pi(4)^2=\tfrac{16\pi}{3},$ and the triangle formed by the two radii has area $\tfrac12(4)^2\sin 120^\circ=4\sqrt3.$ The segment area is $\tfrac{16\pi}{3}-4\sqrt3.$

Multiplying by the length $9$ gives $9\left(\tfrac{16\pi}{3}-4\sqrt3\right)=48\pi-36\sqrt3.$

Thus, the correct answer is E.

2008 AMC 10B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años