Question

Como se muestra en la figura de abajo, un dodecaedro regular, o sea el poliedro formado por $12$ caras pentagonales regulares congruentes, flota en el espacio con dos caras horizontales. Observa que hay un anillo de cinco caras inclinadas adyacentes a la cara superior, y un anillo de cinco caras inclinadas adyacentes a la cara inferior. ¿De cuántas maneras se puede ir de la cara superior a la cara inferior mediante una sucesión de caras adyacentes de modo que cada cara se visite a lo sumo una vez y no se permitan movimientos del anillo inferior al anillo superior?

As shown in the figure below, a regular dodecahedron (the polyhedron consisting of $12$ congruent regular pentagonal faces) floats in space with two horizontal faces. Note that there is a ring of five slanted faces adjacent to the top face, and a ring of five slanted faces adjacent to the bottom face. How many ways are there to move from the top face to the bottom face via a sequence of adjacent faces so that each face is visited at most once and moves are not permitted from the bottom ring to the top ring?

$125$

$250$

$405$

$640$

$810$

Solución en video:

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Solución escrita:

Después de dejar la cara superior, elige una de las $5$ caras del anillo superior. Como los movimientos del anillo inferior al anillo superior están prohibidos, todo camino válido tiene una fase del anillo superior, luego un movimiento hacia abajo al anillo inferior, y luego una fase del anillo inferior.

Fija la primera cara del anillo superior. En el anillo superior, el camino puede recorrer el ciclo de cinco sin revisitar una cara y luego detenerse en cualquier punto: hay $1+2\cdot4=9$ posibles caminos del anillo superior. Desde la cara donde se detiene, hay $2$ posibles movimientos hacia abajo al anillo inferior, así que la parte superior tiene $18$ opciones.

Una vez en el anillo inferior, el camino puede recorrer el ciclo de cinco inferior sin revisitar una cara y luego entrar en la cara inferior; esto da $1+2\cdot4=9$ opciones. El total es $5\cdot18\cdot9=810$ . Así, E es la respuesta correcta.

After leaving the top face, choose one of the $5$ top-ring faces. Because moves from the bottom ring to the top ring are forbidden, every valid path has a top-ring phase, then one move down to the bottom ring, then a bottom-ring phase.

Fix the first top-ring face. On the top ring, the path can move around the 5-cycle without revisiting a face and then stop at any point: there are $1+2\cdot4=9$ possible top-ring paths. From the stopping face, there are $2$ possible downward moves to the bottom ring, so the top part has $18$ choices.

Once in the bottom ring, the path can move around the bottom 5-cycle without revisiting a face and then enter the bottom face; this gives $1+2\cdot4=9$ choices. The total is $5\cdot18\cdot9=810$ . Thus, E is the correct answer.

2020 AMC 10A Problema 19

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 19 en otros años