Question

En cierto juego de cartas, a un jugador se le reparte una mano de $10$ cartas de una baraja de $52$ cartas distintas. El número de manos distintas (sin orden) que se le pueden repartir al jugador puede escribirse como $158A00A4AA0$ . ¿Cuál es el dígito $A$ ?

In a certain card game, a player is dealt a hand of $10$ cards from a deck of $52$ distinct cards. The number of distinct (unordered) hands that can be dealt to the player can be written as $158A00A4AA0.$ What is the digit $A?$

$2$

$3$

$4$

$6$

$7$

Solución en video:

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Solución escrita:

El número de manos distintas que se le pueden repartir al jugador es igual a: $\begin{align*} &\binom{52}{10} \\ &= \dfrac{52!}{42!\cdot 10!}\\ &=10\cdot 17\cdot 13\cdot 7\cdot 47\cdot 46\cdot 11\cdot 43\\ &= 158A00A4AA0 \end{align*}$

Por lo tanto: $\begin{align*} &17\cdot 13\cdot 7\cdot 47\cdot 46\cdot 11\cdot 43\\ &= 158A00A4AA \end{align*}$

Para hallar el dígito de las unidades, podemos calcular el valor de esta expresión módulo $10$ : $\begin{align*} A &\equiv 17\cdot 13\cdot 7\cdot 47\cdot \\&46\cdot 11\cdot 43 \bmod{10}\\ &\equiv 7\cdot 3\cdot 7\cdot 7\cdot 6\cdot 1\cdot 3 \bmod{10}\\ &\equiv 1\cdot 9\cdot 6\cdot 3 \bmod{10}\\ &\equiv 9\cdot 8 \bmod{10}\\ &\equiv 2 \bmod{10}\\ \end{align*}$

Por lo tanto, como $0\le A \le 9$ y $A\equiv 2\bmod{10}$ , se sigue que $A=2$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The number of distinct hands that can be dealt to the player is equal to: $\begin{align*} &\binom{52}{10} \\ &= \dfrac{52!}{42!\cdot 10!}\\ &=10\cdot 17\cdot 13\cdot 7\cdot 47\cdot 46\cdot 11\cdot 43\\ &= 158A00A4AA0 \end{align*}$

Therefore: $\begin{align*} &17\cdot 13\cdot 7\cdot 47\cdot 46\cdot 11\cdot 43\\ &= 158A00A4AA \end{align*}$

To find the units digit, we can find the value of this expression mod $10$ : $\begin{align*} A &\equiv 17\cdot 13\cdot 7\cdot 47\cdot \\&46\cdot 11\cdot 43 \bmod{10}\\ &\equiv 7\cdot 3\cdot 7\cdot 7\cdot 6\cdot 1\cdot 3 \bmod{10}\\ &\equiv 1\cdot 9\cdot 6\cdot 3 \bmod{10}\\ &\equiv 9\cdot 8 \bmod{10}\\ &\equiv 2 \bmod{10}\\ \end{align*}$

Therefore, as $0\le A \le 9,$ and $A\equiv 2\bmod{10},$ it follows that $A=2.$

Thus, A is the correct answer.

2020 AMC 10B Problema 19

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 19 en otros años